kvant_mech

жения (потенциал запирания) он прекращался.

Рис. 6

Поклассическимпредставленияместественнобылопредположить, что энергия выбиваемых электронов, характеристикой которой и является потенциал запирания, будет зависеть от интенсивности света, но оказалось, что от нее зависит только ток насыщения. Неожиданно оказалось, что потенциал запирания зависит от длины волны света и материала фотокатода, при чем для каждого материала и состояния его поверхности существует максимальная длина волны света, больше которой фотоэффект не наблюдается при самых больших интенсивностях света, доступных физикам того времени.

Пытаясь объяснить явление, Эйнштейн предположил, что электроны выбиваются под действием только одного фотона. Тогда максимальная кинетическая энергия, которой будет обладать вылетевший электрон, определится из формулы:

½mev2max=hν–A. 3.1

Здесь A – работа выхода электрона из металла. Из формулы

видно, что если hν≤A, электрон не может вылететь из катода. Этим определяется «красная граница» фотоэффекта.

21

§8 Эффект Комптона

Один из видов взаимодействия электромагнитных волн с веществом, при котором они ведут себя как поток квантов, был открыт в1923 году Комптоном при исследованиях рассеяния рентгеновских лучей. Было установлено, что независимо от природы рассеивающего вещества и длины волны, в рассеянном потоке рентгеновских лучей обнаруживается увеличение длины волны, зависящее только от угла рассеяния.

R D

P

λ0 λ0

θ

λ, λ0 K

S

Рис. 7

Попытки объяснить это явление на основе волновых представлений о свете ни к чему не привели.

Обычно при взаимодействии кванта света с веществом наблюдается фотоэффект, и квант света полностью поглощается, а импульс кванта забирается кристаллической решеткой, в которой атом сидит. При увеличении энергии кванта энергия связи электрона с атомом становится несущественной, и квант взаимодействует как бы со свободным электроном. Часть энергии и импульса забирает электрон и, обычно, вообще покидает вещество, а фотон продолжает путь, изменив направление полета и с меньшей энергией.

Запишем законы сохранения энергии и импульса при рассеянии фотона на свободной частице с учетом релятивистских

22

эффектов.

θ

λ

ϕ

λ'

Возведем оба уравнения в квадрат и вычтем из уравнения энер-

гии уравнение импульса, умножив его на квадрат скорости света:

E2 − p2c2 = (E0 + Eфô − Eфô′ )2 −(pôф − pôф′ )2 c2

Раскрывая скобки и применяя инвариант энергии импульса, получаем:

m02c4=Eф2+m02c4+Eф2+2E0Eф-2EфEф-2E0Eф-pф2c2-pф2c2+2pфpфc2cosθ.

После сокращений имеем: EфEф+E0(Eф-Eф) =pф pфc2cosθ, или, заменяя энергии фотонов их импульсами, находим:

pф pфc2+m0c(pф-pф)=pф pфc2cosθ.

23

Деляэтоуравнениенакоэффициентприкосинусе,учитывая,

гдеΛL – так называемая Комптоновская длина волны частицы. В частности, для электрона

Мы видим, что в формулу не входит ни один параметр рассеивающего вещества, а только свойства электрона. Этого, конечно, можно было ожидать, поскольку мы пренебрегли энергией связи.

Для биологии очень важно, что при энергии квантов меньше примерно 1 МэВ эффект Комптона является основным процессом, ответственным за рассеяние и поглощение γ-компоненты проникающей радиации. Поэтому для защиты от этой компоненты применяются вещества, содержащие большую плотность электронов в единице объема (например, свинец).

§9 Излучение и поглощение фотона движущимся атомом.

Эффект Доплера в квантовой интерпретации.

Сначала рассмотрим «выстреливание» фотона движущимся атомом.

Будем штрихом обозначать состояние после «выстреливания». Запишем законы сохранения энергии и импульса, с уче-

24

том релятивистских эффектов:

Возведем уравнение энергии в квадрат, а к импульсам применим формулу треугольника и умножим на квадрат скорости света:

Вычитая из первого уравнения второе, получаем:

В этом уравнении, вследствие инвариантности 4-х вектора энергии и импульса, первые пары равны соответствующим энергиям покоя E’0 и E0. Вторая пара слева в сумме равна 0, поскольку масса покоя фотона равна 0, или из-за соотношения

рф =hνф/с=Eф/с. После подстановки и сокращения членов получаем с учетом последнего соотношения:

При выводе этой формулы сделаны очевидные подстановки:

Здесь Eф=hνизл – энергия излученного фотона.

25

приобретает вид:

откуда окончательно получаем энергию излученного кванта:

Если излучает самый легкий атом водорода,

Е0≈1ãгì/мольîëü 9•910•1020ñìсм22/ñåêсек22 =1ýðã,5•10−-3 эрг, hν0 в оптическом

6ì •î10ëü231/моль

диапазоне равно hс/λ0≈6,6 10-27эрг с 3 1010см/с/ 5500 10-8 см≈

≈3,6 10–12 эрг, hν0/2E0=1,2 10-9~1, и получаем релятивистскую формулу Доплера:

1− v2 c2

νизлèçë =ν0 (1− vc cosθ) . Или при v~c, vизл=v0(1+v/c • cosθ).

В прошлом семестре аналогичный результат мы получили, рассматривая свет, как волны. Мы видим, что свет проявляет так называемый «корпускулярно-волновой» дуализм.

Поглощение фотона описывается аналогичными формула-

26

энергии в квадрат, а к импульсам применим формулу треугольника и умножим на квадрат скорости света:

E″2= E 2+ Eф2-2EEф; p″ 2c2 = p2c2+pф2-2ppфc2cosθ.

Далее следуя тем же преобразованиям, имеем:

Мы видим, что энергия поглощенного кванта больше энер-

Вообще, много это или мало? В оптическом диапазоне мы

только, что получили оценку hν0 ≤ 2,4 10−9 . Нужно ее срав-

E0

нить с какими-то «естественными» процессами.

27

Лекция 4

§10 Спонтанное излучение.

Естественная и доплеровская ширина линии.

Как мы покажем в дальнейшем строго, процессы поглощения идут с заметной вероятностью, только когда «боровские» частоты перехода практически совпадают с частотой света, т.е. если наблюдается «резонанс» между частотой облучающего атом света (кванта) и спектральной линией перехода. Чтобы наблюдался такой «резонанс», линии должны иметь не бесконечно малую ширину, в противном случае «резонанс» будет невозможен. Поскольку квант света излучается отдельным атомом, хотя и в коллективе, его длина (вспомните длину цуга, с которой связана когерентность), а, следовательно, и ширина спектра связаны со временем излучения атома. Мы уже говорили о «времени жизни» атома Резерфорда. Более строго время жизни атома в возбужденном состоянии можно ввести, как

время, за которое число возбужденных атомов уменьшается в е раз. Как показывают квантово-механические расчеты, оно для нормальных состояний составляет 10–8 10-9 секунд, но для метастабильных состояний может достигать 0,1секунды.

Возбужденные состояния не являются стационарными, поэтому для них энергия точно не определяется, и атомы из этих состояний переходят в основное, если нет внешних воздействий, самопроизвольно, спонтанно. Квантовой механике по-

казывается,чтоширинаэнергетическогоуровня Г ħ/τ,поэтой причине излучаемые ансамблем атомов кванты имеют разброс

по частотам, величина которого δω Г/ħ =1/τ 108 сек–1.

0

Этомуразбросучастотсоответствуетразбросдлинволн(для

λопт=5500Å):

28

(δλ0/λопт 2 10–8). Очевидно, что для «резонанса» линии должны совпадать в пределах максимума такой ширины. Эта вели-

чина получила название «естественная ширина спектраль-

ной линии», ее обычно обозначают δλ0 На самом деле, атомы находятся в тепловом движении, ско-

ростькоторого~1000м/сек.Легкосообразить,чтовсилухаотического движения атомов частота будет лежать между ν0(1+v/c) и ν0(1–v/c) и, следовательно, с тепловым движением связана, так называемая, доплеровская ширина линии. Воспользовавшись предыдущими формулами, имеем:

δωD = 2πν0 2 v/c =4πv/λ0= 12,56 105/5 10–5≈2,5 1010 сек-1

то есть δλD 400δλ0. Таким образом, полная ширина линии при нормальных температурах почти полностью связана с доплеровской шириной.

§11 Эффект Мёссбауэра

Для неподвижного атома, как следует, из формулы (3.8) разность энергий поглощенной и излученной атомом составляет:

дели множитель в скобках в оптическом диапазоне ~ 2.4 10–9, следовательно, сдвиг линии на порядок меньше естественной ширины и он никак не может быть заметен.

Положение резко меняется, когда квантовый переход вызывается перестройкой сложных ядер и лежит в диапазоне рент-

29

геновскихлучей.Например,ядрарадиоактивногожелезамогут излучать рентгеновские кванты с энергией 100 кэВ с шириной линии 4,6 10-6эВ. В этом случае:

δλFe =1,76 10–6

λFe

Ширина линии:

δω Г/ħ =4,6 10–6 1,6 10–12/10–27 7 109 сек–1

Этой ширине соответствует разброс длин волн:

сдвиглиниибольшееешириныпочтинапятьпорядков.Поэтому наблюдать резонансное поглощение рентгеновских лучей, испущенных такими же ядрами, не удавалось. Чтобы его обнаружить, необходимо двигать источник в направлении приемни-

ка со скоростью v=с∆λ/λ.

Поглотитель

Источник

Детектор

V

Рис. 9 Схема опыта по измерению ширины линии

30