алгебра от Галины Валентиновны / поле дробей кольца многочленов
.pdf
Поле дробей кольца многочленов
Рассмотрим кольцо P[x] многочленов над полем P и его поле дробей P(x) (иногда его обозначают P[[x]] ). Элементы P(x) имеют вид
f (x) , g(x) 0 . g(x)
Свойство дробей: дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или сократить на один и тот же ненулевой многочлен.
Определение. Дробь называется несократимой, если числитель и знаменатель взаимно просты, то есть единичный многочлен является их наибольшим общим делителем.
Теорема (о существовании и единственности несократимой дроби).
С точностью до ассоциированности дробь f (x) однозначно предста-
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
вима в виде несократимой дроби. |
|||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
||||
1. |
Существование несократимой дроби. |
||||||||
Пусть |
d − наибольший общий делитель f (x) и g(x) . Тогда |
||||||||
f (x) d f1 (x), g(x) d g1 (x) |
и f1 (x), g1 (x) − взаимно просты. После |
||||||||
сокращения получим |
f (x) |
|
f1 (x) |
. |
|
|
|
||
|
|
||||||||
|
|
g(x) g1 (x) |
|||||||
2. |
Единственность. Если |
f2 (x) |
|
f1 (x) |
− две несократимые дро- |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
g2 (x) g1 (x) |
||||
би, то f2 (x)g1 (x) f1(x)g2 (x) и f2 (x), g2 (x) взаимно просты.
|
|
g |
|
f |
g |
|
|
g |
|
f g |
|
|||
Поскольку |
2 |
|
2 1 , то g2 |
g1 |
. С другой стороны, поскольку |
1 |
|
1 |
|
2 , |
||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
g |
2 |
f |
2 |
|
|
g |
|
|
f |
|
||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
то g1 |
|
g2 , то многочлены g1 и g2 |
ассоциированы. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Аналогично проверяется, что многочлены f1 и f2 ассоциированы.
1
Степень дроби
Определение. Степень дроби |
f (x) |
обозначается deg |
f (x) |
и опреде- |
|||
|
|
|
|
g(x) |
|
g(x) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
deg |
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|||
ляется так: |
|
|
. |
|
|
|
|
deg |
f |
|
deg f deg g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корректность определения. Если f (x) f1 (x) , то g(x) g1 (x)
f (x)g1 (x) f1 (x)g(x) . Следовательно, deg f (x) deg g1 (x) deg f1 (x) deg g(x)
deg f (x) deg g(x) deg f |
(x) deg g (x) deg |
f (x) |
deg |
f1 (x) |
. |
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
g(x) |
|
g1 (x) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Правильные дроби |
|
|
|
|
Определение. |
0 |
|
|
|
|
|
1. Дробь вида |
– правильная дробь. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
g(x)
2.Если дробь ненулевая, то она правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть
deg f (x) deg g(x) 0 .
Свойства правильных дробей
1.Сумма, разность и произведение правильных дробей есть правильная дробь.
Задача. Доказать это утверждение.
2. Теорема (о существовании и единственности представления дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби).
Любую правильную дробь можно представить и притом единственным образом в виде суммы многочлена и правильной дроби. Доказательство. Для нулевой дроби это утверждение верно.
Если дробь |
f (x) |
ненулевая, разделим многочлен |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) g(x)q(x) r(x), deg r(x) deg g(x) . Тогда |
|||||||||
|
f (x) |
|
g(x)q(x) r(x) |
q(x) |
r(x) |
и дробь |
r(x) |
− правиль- |
||
|
|
|
g(x) |
g(x) |
|
|||||
|
g(x) |
|
|
g(x) |
||||||
ная.
Проверим единственность представления. Если есть два представления
f (x) q(x) r(x) , deg r(x) deg g(x) и g(x) g(x)
|
|
f (x) |
q |
(x) |
r1 (x) |
, deg r (x) deg g(x) , то |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
g(x) |
1 |
|
g(x) |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
q(x) q1 (x) |
|
r1(x) r(x) |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
r1 (x) r(x) |
|
1 |
|
|
g(x) |
|||||||
причем |
|
− правильная дробь. Если левая часть − не- |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нулевая, то степень дроби в левой части положительная, а в правой части − отрицательная. Противоречие. Поэтому
|
q(x) q (x) |
|
r (x) r(x) |
q(x) q1 |
(x) |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
. |
1 |
g(x) |
|
||||
|
|
r1 |
(x) r(x) |
|||
Единственность представления доказана.
2