алгебра от Галины Валентиновны / Теорема о корнях комплексного многочлена , не являющимися действительными

Теорема о не действительных корнях действительного многочлена

Заметим, что если и комплексно сопряженные числа, то многочлен

x2 x x .

Теорема (о парности не действительных корней действительного многочлена и их кратностях).

Если – не действительный корень действительного многочлена, то также его корень и при этом кратности этих корней одинаковы.

Доказательство. Пусть имеется многочлен f x x и − его ко-

остатком: f x x x q x r x x x q x ax b ,

a, b .

Поскольку f 0 , то a b 0 . Если a 0 , то b , что

занному в первой части теоремы, число − также корень, а это проти-

воречит тому, что кратность равна l . Аналогично разбирается случай k l .

Теорема (о существовании комплексного корня у комплексного многочлена). Комплексный многочлен положительной степени имеет хотя бы один комплексный корень.

Напоминание.

Свойства комплексного сопряжения. Пусть – комплексное число, обо-

значим через комплексно сопряженное число. Тогда

Ясно, что ck ck . Поэтому h(x) x , то есть многочлен h(x) имеет дей-

ствительные коэффициенты. Поэтому по теореме о корнях действительного многочлена, он имеет комплексный корень , то есть

h( ) f ( ) g( ) 0 .

Возможны два случая.

Следствие 1. Комплексный многочлен положительной степени можно разложить на линейные сомножители.

Доказательство. Рассмотрим многочлен f x положительной степе-

ни n . Проверим утверждение следствия по индукции. База индукции: для случая deg f x 1 утверждение верно. Предположим, что утвер-

ждение доказано для deg f x n . Поскольку любой комплексный мно-

гочлен f x положительной степени n имеет корень 1 , то по тео-

реме Безу f x x 1 g x . Если степень g x нулевая, то

f x an x 1 an x an 1 , и f x разлагается на линейные множите-

ли. Если степень g x положительна, то по предположению индукции многочлен g x , можно разложить на линейные множители, поэтому f x an x 1 x 2 ... x n an x an 1 x 2 ... x n , то есть f x разлагается на линейные множители.

Следствие 2. Действительный многочлен можно разложить на линейные и квадратичные действительные сомножители, не имеющие действительных корней.

Доказательство. Рассмотрим корни комплексного многочлена f x

положительной степени n . Разложим его на линейные множители в со-

ответствии со следствием 1: f x an x 1 x 2 ... x n . Если все

корни действительны, то все доказано. Если же имеются комплексные корни, то у каждого комплексного корня i имеется парный комплексно

сопряженный корень i . Тогда объединяя эту пару корней, получим квадратичный множитель вида i x x i x i x , не имею-

щий действительных корней.

Следствие 3. Если действительный многочлен положительной степени неприводим над полем действительных чисел, то он имеет первую или вторую степень, и тогда его дискриминант отрицателен.

Следствие 4. Если комплексный многочлен положительной степени неприводим над полем комплексных чисел, то он имеет первую степень.

Алгебраически замкнутые поля

Поле F называется алгебраически замкнутым, если все корни любого многочлена над этим полем принадлежат полю F .

Теорема (признак алгебраической замкнутости поля). Если любой многочлен положительной степени над данным полем имеет в этом поле хотя бы один корень, то поле алгебраически замкнуто.

Доказательство. Пусть многочлен f x F x имеет положительную степень n . Проверим утверждение признака по индукции. База индукции: для случая deg f x 1 утверждение признака очевидно верно.

Предположим, что утверждение верно для многочленов степени меньше, чем n .