алгебра от Галины Валентиновны / поле, содержащее корень многочлена
.pdfСуществование поля, содержащего корень многочлена
Пусть K − поле, f (x) − неприводимый многочлен над этим полем. Пусть n deg f (x) 1, I ( f (x)) − главный идеал, порождённый многочленом f (x) . Обозначим через канонический эпиморфизм: K[x] K[x] / I на факторкольцо K[x] / I . Поскольку f (x) − неприводимый многочлен, то K[x] / I – поле.
Примем обозначения:
(s) s s I , s K ,
(x) x x I K[x] / I ,
K Im K .
|
|
|
является нулём кольца K[x] / I , а 1 1 I − его |
Заметим, что 0 0 I |
|||
единицей. |
|
|
Теорема. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
Отображение является вложением поля K в поле K |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2. |
Элементы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базис поля L K[x] / I , |
рас- |
|||||||||||||
1, , 2 ,..., n 1 образуют |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
сматриваемого как векторное пространство над полем K |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ... |
|
|
xn |
|
x имеет корень |
|
в |
||||||||||||||
3. |
Многочлен |
f |
a0 |
a1 |
an |
K |
|||||||||||||||||||||||||
|
поле K[x] / I |
, то есть |
|
|
|
|
|
... |
|
n |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
f |
a |
a |
a |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||
4. |
Поле K[x] / I |
|
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||
является минимальным полем, содержащим K |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство.
1.Рассмотрим элемент s поля K , лежащий в ядре, то есть
1
s K Ker |
. |
||
|
|
|
|
|
|||
(s) s I 0 I |
|
Тогда из второго условия имеем s I f x . Поэтому элемент s
делится на многочлен f x . Кроме того элемент является многочленом нулевой степени или нулем. Делимость элемента s на многочлен положительной степени в этом случае, очевидно,
возможна только в случае, когда s 0 . Таким образом, ограничение отображения на поле K является изоморфизмом поля K на поле K . Значит, K есть поле и, следовательно, подполе поля K[x] / I .
2. Докажем, что элементы 1, , 2 ,..., n 1 линейно независимы над полем K . Пусть a0 a1 an 1 n 1 0,
Тогда
(a0 ) (a1 ) (x) (an 1 ) ( (x)) n 1 0
a0 a1 x an 1 x n 1 0, то есть a0 a1 x an 1 x n 1 I.
Это означает, что многочлен a0 a1 x an 1 |
x n 1 делится на много- |
|||||||||||
член f (x) степени |
n , |
что |
возможно |
|
только |
в |
слу- |
|||||
чае a 0 a1 a n 1 |
0 . |
Тем |
самым |
доказано, |
что |
элементы |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1, , 2 ,..., n 1 линейно независимы над полем K |
. |
|
|
|
|||||||
Возьмём теперь произвольный элемент t |
из факторкольца |
K[x] / I . |
||||||||||
Так как |
− эпиморфизм (т. е. сюръективное отображение), то суще- |
|||||||||||
ствует такой многочлен g(x) K[x] , что (g(x)) t . |
Разделим g(x) с |
|||||||||||
остатком |
на многочлен |
f (x) : |
g(x) f (x)q(x) r(x) , где |
r(x) 0 |
||||||||
или deg r(x) n . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
t (g(x)) ( f (x)) (q(x)) (r(x)) (r(x))
Пусть r(x) a0 a1 x an 1 x n 1 ; тогда
t (r(x)) a0 a1 an 1 n 1 . Таким образом, любой элемент можно представить в виде линейной комбинации элементов
1, , 2 ,..., n 1 , тем самым доказано, что элементы 1, , 2 ,..., n 1 образуют базис. Кроме того 0 f x a0 a1 ... an n , поэто-
му f ( ) 0 .
Четвертое утверждение является следствием из второго утверждения.
Поле K[x] / I является минимальным полем, содержащим поле K и элемент .
Минимальное поле, содержащее K и , обозначается K[ ] .
Каждый элемент факторкольца K[x] / I можно представить единственным образом в виде a0 a1 an 1 n 1 , a0 , a1 , , an 1 K .
Поэтому, если кольцо K – конечно, то число элементов в факторкольце K[x] / I равно K n .
Теорема. Пусть K − поле, f (x) − многочлен над этим полем. Если многочлен f (x) – неприводим над полем, то существуют такое поле L и подполе K , изоморфное полю K , что многочлен f (x) над полем K имеет корень в поле L .
Поскольку поле K , изоморфно полю K , то можно считать, что многочлен f (x) и f (x) есть один и тот же многочлен. Тогда теорему можно переформулировать так: Существует расширение поля K , в котором многочлен f (x) имеет корень.
Существование поля разложения многочлена
Теорема. Для всякого многочлена f K[x] положительной
степени существует минимальное расширение поля K , над которым
2
многочлен f раскладывается на линейные множители. (Такое поле называется полем разложения многочлена.)
Доказательство. Проведем индукцию по числу n deg f .
Если n 1 , то многочлен f имеет вид: f |
|
|
b |
, |
|
ax b a x |
|
, a, b K |
|||
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
то есть K является полем разложения многочлена |
f . |
|
|
|
|
Допустим, что утверждение теоремы верно для всех много- |
|
||||
членов, степень которых строго меньше числа n . |
|
|
|
|
|
Рассмотрим такой многочлен f , |
что n deg f . Разложим его |
||||
на неприводимые множители над полем |
K . Пусть |
p p(x) − один |
из таких множителей. По предположению индукции существует рас-
ширение F поля K , которое содержит корень 1 многочлена p(x) .
Так как 1 является также корнем многочлена f , то, применяя теоре-
му Безу над полем F , получим
f (x 1 )q(x) , где q(x) F(x) .
Многочлен q(x) имеет степень n 1 . По предположению индукции существует расширение L поля F , над которым многочлен
q(x) разлагается на линейные множители. Тогда f (x 1 )q(x) an (x 1 )...(x n ) .
Теорема доказана.