алгебра от Галины Валентиновны / поле, содержащее корень многочлена

Существование поля, содержащего корень многочлена

Пусть K − поле, f (x) − неприводимый многочлен над этим полем. Пусть n deg f (x) 1, I ( f (x)) − главный идеал, порождённый многочленом f (x) . Обозначим через канонический эпиморфизм: K[x] K[x] / I на факторкольцо K[x] / I . Поскольку f (x) − неприводимый многочлен, то K[x] / I – поле.

Примем обозначения:

(s) s s I , s K ,

(x) x x I K[x] / I ,

K Im K .

Доказательство.

1.Рассмотрим элемент s поля K , лежащий в ядре, то есть

1

Тогда из второго условия имеем s I f x . Поэтому элемент s

делится на многочлен f x . Кроме того элемент является многочленом нулевой степени или нулем. Делимость элемента s на многочлен положительной степени в этом случае, очевидно,

возможна только в случае, когда s 0 . Таким образом, ограничение отображения на поле K является изоморфизмом поля K на поле K . Значит, K есть поле и, следовательно, подполе поля K[x] / I .

2. Докажем, что элементы 1, , 2 ,..., n 1 линейно независимы над полем K . Пусть a0 a1 an 1 n 1 0,

Тогда

(a0 ) (a1 ) (x) (an 1 ) ( (x)) n 1 0

a0 a1 x an 1 x n 1 0, то есть a0 a1 x an 1 x n 1 I.

t (g(x)) ( f (x)) (q(x)) (r(x)) (r(x))

Пусть r(x) a0 a1 x an 1 x n 1 ; тогда

t (r(x)) a0 a1 an 1 n 1 . Таким образом, любой элемент можно представить в виде линейной комбинации элементов

1, , 2 ,..., n 1 , тем самым доказано, что элементы 1, , 2 ,..., n 1 образуют базис. Кроме того 0 f x a0 a1 ... an n , поэто-

му f ( ) 0 .

Четвертое утверждение является следствием из второго утверждения.

Поле K[x] / I является минимальным полем, содержащим поле K и элемент .

Минимальное поле, содержащее K и , обозначается K[ ] .

Каждый элемент факторкольца K[x] / I можно представить единственным образом в виде a0 a1 an 1 n 1 , a0 , a1 , , an 1 K .

Поэтому, если кольцо K – конечно, то число элементов в факторкольце K[x] / I равно K n .

Теорема. Пусть K − поле, f (x) − многочлен над этим полем. Если многочлен f (x) – неприводим над полем, то существуют такое поле L и подполе K , изоморфное полю K , что многочлен f (x) над полем K имеет корень в поле L .

Поскольку поле K , изоморфно полю K , то можно считать, что многочлен f (x) и f (x) есть один и тот же многочлен. Тогда теорему можно переформулировать так: Существует расширение поля K , в котором многочлен f (x) имеет корень.

Существование поля разложения многочлена

Теорема. Для всякого многочлена f K[x] положительной

степени существует минимальное расширение поля K , над которым

2

многочлен f раскладывается на линейные множители. (Такое поле называется полем разложения многочлена.)

Доказательство. Проведем индукцию по числу n deg f .

из таких множителей. По предположению индукции существует рас-

ширение F поля K , которое содержит корень 1 многочлена p(x) .

Так как 1 является также корнем многочлена f , то, применяя теоре-

му Безу над полем F , получим

f (x 1 )q(x) , где q(x) F(x) .

Многочлен q(x) имеет степень n 1 . По предположению индукции существует расширение L поля F , над которым многочлен

q(x) разлагается на линейные множители. Тогда f (x 1 )q(x) an (x 1 )...(x n ) .

Теорема доказана.