алгебра от Галины Валентиновны / Лексикографический порядок

Лексикографический порядок

В случае полиномов возникает потребность записи слагаемых многочлена в каком-то порядке. Обычно при этом используют так называемый лексикографический (то есть как в словаре) порядок. При лексикографическом упорядочении вначале сравниваются показатели при x1 , затем, если они равны, то сравнивают показатели при x2 и т.д.

Итак, рассматриваются мономы вида ax1k1 x2k2 ...xnkn . Мономы можно умножать друг на друга, например, моном u 2x1 x2 x43 и моном v 3x23 x3 после перемножения дадут uv 6x1 x24 x3 x43 .

Если моном u лексикографически старше монома v , то будем писать это так u v или v u . Согласно определению это означает, что имеется хотя бы одна переменная, которая входит в u и v с разными показателями; и первая из переменных (считая слева направо), которая входит в u и v с разными показателями, входит в u с большим показателем, чем в v .

Следующие свойства позволяют использовать лексикографическое упорядочение для доказательства теорем по индукции.

Теорема (свойства лексикографического порядка).

Отношение лексикографического упорядочения обладает следующими свойствами:

1)любые два монома с коэффициентом 1 сравнимы, то есть либо u v либо v u либо v u .

2)если u v и v w , то u w (транзитивность; рефлексивности и симметричности нет);

3)если u v , то uw vw для любого монома w («неравенство можно умножать справа или слева на любой моном»); Точно так же wu wv .

4)если u1 v1 и u2 v2 , то u1u2 v1v2 («неравенство одинакового

смысла можно перемножать»).

Доказательство.

1

1)Если мономы не одинаковы, то найдется переменная, по которой показатели этих мономов различаются, рассмотрим первую, считая слева направо, такую переменную. Если показатель по этой переменной больше у монома u , то u v , если наоборот, то v u .

2)Пусть u v и v w . Если u, v имеют разные показатели по x1 , то как легко видеть u w . Пусть xi первая переменная, по которой показатели мономов u, v различаются. Пусть показатели мономов u, v, w есть соответственно ki ,li , mi . Очевидно, что возможны три случая

a. Первая переменная, показатели по которой отличаются у мономов v, w имеет номер j , меньший i. Тогда пер-

вой переменной с различными показателями у мономов v, w будет xj , для которой k j lj mj и поэтому

u w .

b.Первая переменная, показатели по которой отличаются у мономов v, w имеет номер j , равный i. Тогда первой

переменной с различными показателями у мономов v, w будет xi , для которой ki li mi и поэтому u w .

c.Первая переменная, показатели по которой отличаются у мономов v, w имеет номер j , больший i. Тогда пер-

вой переменной с различными показателями у моно-

3)При умножении на w к показателям, с которыми каждая переменная входит в u и v , добавляется одно и то же число, и знак неравенства (или равенства) между этими показателями сохраняется. Поэтому uw vw .

4)Пользуясь предыдущим свойством, получим u1u2 v1u2 v1v2 . Далее по транзитивности u1u2 v1v2 .

Пример. Следующий полином расположен по лексикографическому убыванию членов x12 x2 x1 x22 x3 2x1 x32 x2 x32 x2 x32 3 . Заметим, что моном x1 x22 x3 лексикографически младше чем x12 x2 , хотя его степень больше.

Среди ненулевых мономов любого ненулевого полинома

f K x1 ,..., xn имеется единственный, который лексикографически

старше всех остальных. Он называется старшим мономом полинома f .

Теорема (о старшем мономе произведения). Старший моном произведения ненулевых полиномов равен произведению их старших мономов.

Доказательство.

Запишем полиномы f и g в следующем виде. f старший моном u младшие мономы(ui )

g старший моном w младшие мономы(wj )

Тогда u ui , w wj . Поэтому в произведении fg входят мономы ви-

да uwj ,ui wj ,ui w,uw .

Ясно, что uw uw j ,uw uiw,uw ui wj (проверьте самостоятельно). По-

этому uw есть старший моном.

Симметрические полиномы

Определение. Полином f K x1 ,..., xn называется симметрическим,

если он не изменяется ни при каких перестановках переменных. Поскольку любая перестановка есть произведение транспозиций, и даже более того, порождается транспозициями вида 12 , 13 ,..., 1n ,

то достаточно проверять неизменность полинома при перестановке двух индексов.

Очевидно, что любая однородная компонента симметрического полинома является симметрическим полиномом.

Примеры.

2

1.Элементарные симметрические полиномы являются симметрическими полиномами.

2.Степенные суммы Sn x1n ... xkn ,n 1,2,... являются симметрическими полиномами.

3.Определитель Вандермонда

V x1 ,..., xn xi x j

i j

не является симметрическим полиномом. Он меняет знак при нечетной подстановке. Но его квадрат является симметрическим полиномом.

4. При любых перестановках переменных x1 ,x2 ,x3 ,x4 полиномы

h1 x1 x2 x3 x4 ,h2 x1 x3 x2 x4 ,h3 x1 x4 x2 x3 переходят друг в друга. Поэтому h1h2h3 является симметрическим полиномом.

Очевидно, что сумма и произведение симметрических полиномов а также произведение симметрического полинома на число являются симметрическими полиномами. Иными словами, симметрические полиномы образуют подалгебру в алгебре всех полиномов.

Следовательно, если F K x1 ,...,xm – произвольный полином от m переменных и f1 ,..., fm K x1 ,...,xn – симметрические по-

линомы, то F f1 ,..., fm – также симметрический полином от x1 ,...,xn .Оказывается, что если взять в качестве

f1 ,..., fm K x1 ,...,xn элементарные симметрические полиномы,

то любой симметрический полином можно выразить в таком виде.

Теорема (основнаятеорема о симметрических полиномах). Всякий симметрический полином единственным образом представим в виде полинома от элементарных симметрических полиномов.

Лемма (о старшем мономе симметрического полинома).

Пусть u ax1k1 x2k2 ...xnkn старший моном симметрического поли-

нома. Тогда kn kn 1 ... k1 .

Доказательство. Предположим, что ki ki 1 для некоторого числа i . Наряду с мономом u полином должен содержать моном

деть, что u ' u . Это противоречит тому, что u старший моном. Лемма (о существовании монома от элементарный симметрических полиномов с заданным старшим мономом)

гда существуют такие неотрицательные целые числа l1 ,...,ln , что старший моном полинома 1l1 ... nln совпадает с u . Числа l1 ,...,ln при этом однозначно.

Доказательство. Старший моном полинома k равен x1 xk . Для полинома 1l1 ... nln старший моном равен

x1l1 x1x1 l2 ... x1...xn ln x1l1 ... ln x2l2 ... ln ... xnln .

Приравнивая его одночлену u , получаем систему линейных уравнений

l1 l2 ... ln k1

l2 ... ln k1

которая очевидно имеет единственное решение ln kn ,

li ki ki 1,i 1, 2,...n 1. Из того, что kn kn 1 ... k1 , следует, что числа l1 ,...,ln неотрицательны.

3

Доказательство теоремы. Пусть f K x1 ,...,xn – симметрический многочлен. Нужно найти такой многочлен F K x1 ,...,xm , что

старший моном которого равен u1 . Рассмотрим полином f1 f F1 . Если он равен 0, то все доказано. В противном случае старший моном для f1 меньше старшего монома полинома f . Повторяя проделан-

ное рассуждение, получим многочлен со старшим мономом u2 .

Старшие мономы удовлетворяют неравенствам u u1 u2 ... . По-

скольку мономов меньших данного конечное число, придем к случаю, когда соответствующая разность станет равна нулевому полиному. То есть теорема доказана.

Единственность не доказываем.