алгебра от Галины Валентиновны / Искусственный многочлен и его свойства

Значение симметрического полинома над полем на корнях многочлена над тем же полем

Напоминание. Значения элементарных симметрических полиномов на корнях c1,..,cn многочлена f x a0 a1 x ... an xn связаны фор-

мулами Виета: i c1 ,...,cn 1 i an i . Для приведенного многочлена an

Отсюда получаем следствие: an i 1 i i c1 ,...,cn . Обозначив n k i или k n i , получим

ak 1 n k n k c1 ,...,cn .

Теорема. Значение симметрического полинома g x1,..., xn над полем

на корнях действительного многочлена f x является действи-

тельным числом.

Доказательство.

По условию g x1,..., xn x1,..., xn , f x a0 a1x ... an xn x .

Пусть c1,..,cn − корни многочлена f x . Нужно доказать, что

g c1,...,cn . По формулам Виета для элементарных симметриче-

ских полиномов i x1,..., xn имеем

i c1 ,...,cn 1 i an i , an

то есть значение элементарных симметрических многочленов на корнях многочлена f x есть элемент поля . По основной теореме о симметрических многочленах

Искусственный многочлен и его свойства

Пусть f (x) x и . Искусственный многочлен F x , соот-

Доказательство. Рассмотрим утверждение 1.

По теореме Виета числа bj являются значением элементарного сим-

метрического полинома от корней cij , точнее

bk 1 t k t k ..., cij ,... 1 t k t k ..., i j i j ,... ,

мгогочлен от 1 ,..., n

k 0,1,...,t 1.

Если применить подстановку к элементам i , то произойдет пере-

становка переменных cij полинома t k . Таким образом, bk есть зна-

чение симметрического полинома на корнях 1,..., n многочлена

f x . По предыдущей теореме bk , k 0,1,...,t 1. Теорема до-

казана.

2). Поскольку количество переменных cij при условии, что 1 i j n

равно числу упорядоченных пар вида i, j , i, j 1, 2,..., n , i j , (Число неупорядоченных пар равно n n 1 ). Поскольку из двух пар

i, j и j, i выбирается только та, у которой первая координата меньше второй, то получаем только половину этого количества, то

есть n n 1 Cn2 .

2

Теорема о существовании комплексного корня у действительного многочлена положительной степени

Всякий действительный многочлен положительной степени имеет хотя бы один комплексный корень.

Пусть f (x) x , deg f x 1 , 1,..., n – корни многочлена f (x) .

Пусть n 2k m , где m – нечетное число. Доказательство будем вести индукцией по числу k .

Если k 0 , то многочлен имеет нечетную степень и по теореме, доказанной выше, имеет действительный (а значит и комплексный) корень.

Предположим, что утверждение теоремы доказано для случая Докажем утверждение теоремы для случая, когда k r .

Таким образом, мы рассматриваем случай deg f x n 2r m , где m – нечетное число. Рассмотрим искусственные многочлены

F x x , степень которых равна

2

К ним применимо предположение индукции, то есть все многочлены F x имеют комплексный корень. Поскольку может принимать