алгебра от Галины Валентиновны / программа коллоквиума 4 2011

Программа лекций по курсу алгебры, второй семестр 2010/11 уч. г. Мат. факультет группы 2,3 . Спец. Математика с информатикой

Лектор доц. Шеина Г.В.

1. Формулы Виета. Теорема Виета. Элементарные симметрические полиномы.

2. Построение кольца полиномов нескольких переменных. Его свойства.

3. Лексикографическое упорядочение мономов. Его свойства. Высший моном произведения полиномов.

4. Понятие симметрического полинома. Примеры. Характеристика старших мономов симметрических полиномов.

5. Основная теорема о симметрических полиномах.

6. Поле рациональных дробей. Теорема о существовании и единственности представления дроби в виде несократимой дроби.

7. Степень рациональной дроби. Теорема о существовании и единственности представления рациональной дроби в виде полинома и правильной дроби.

8. Простейшие дроби. Теорема о представимости правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей.

9. Существование поля, содержащего корень неприводимого над полем многочлена. Свойства факторкольца кольца многочленов над полем по идеалу, порожденному неприводимым многочленом.

10. Существование поля разложения многочлена.

11. Значение симметрического полинома на корнях многочлена над полем. Искусственный многочлен и его свойства.

12. Лемма о старшем одночлене. Теорема о знаке действительного многочлена положительной степени.

13. Теорема о существовании действительного корня у действительного многочлена нечетной степени.

14. Теорема о существовании комплексного корня у действительного многочлена.

15. Парность корней действительного многочлена, не являющихся действительными. Их кратности.

16. Теорема о существовании комплексного корня у комплексного многочлена. Основная теорема алгебры.

17. Формальная производная и ее свойства.

18. Характеристика неприводимых мгногочленов над полем действительных чисел.

19. Алгебраически замкнутые поля. Признак алгебраической замкнутости поля. Следствие.

20. Вывод формулы Кардано-Тартальи для решения неполных уравнений третьей степени.

21. Дискриминант кубического уравнения. Исследование действительного кубического уравнения.

22. Метод Феррари решения уравнений четвертой степени.

23. Нахождение верхней границы расположения корней действительного многочлена по методу Ньютона.

24. Нахождение границ расположения положительных и отрицательных корней действительного многочлена с помощью вспомогательных многочленов.

25. Целочисленные многочлены. Условие их неразложимости над полем рациональных чисел. Лемма Гаусса.

26. Неприводимость многочлена над полем рациональных чисел. Признак Эйзенштейна. Примеры.