алгебра от Галины Валентиновны / лекция Простейшие дроби

Простейшие дроби. Разложение дроби в сумму простейших дробей

гочлен.

Замечание. Простейшая дробь является правильной дробью.

Примеры.

является неприводимым многочленом над любым полем, но условие deg f deg q deg 3x deg q не выполнено.

является простейшей над полем комплексных чисел, поскольку многочлен x2 2 приводим.

Прежде чем формулировать и доказывать основную теорему этого раздела, докажем следующие вспомогательные факты.

Лемма 1. Пусть f , g, h − многочлены положительной степени, при-

чем deg h deg f deg g и многочлены f и g взаимно просты. Тогда существуют такие многочлены u и v , что h f u g v , причем

deg u deg g

.

deg v deg f

Доказательство. Из взаимной простоты многочленов f и g следует, что

(*)h f u1h g v1h .

Разделим многочлен u1h с остатком на многочлен g : u1h gq r , где deg r deg g . Подставим u1h в равенство ( ):

Покажем, что v искомый многочлен. Для этого вычислим его степень. Рассмотрим равенство h f r g v и вычислим степени многочленов, стоящих в левой и правой части этого равенства:

deg g v deg h f r

deg g deg v deg h f r max deg h, deg f r . Поскольку deg f r deg f deg r , то

deg g deg v max deg h, deg f deg r и deg r deg g . Заметим,

что из условия леммы следует, что

max deg h, deg f deg g deg f deg g

deg g deg v deg f deg g deg v deg f . Все доказано.

Рассмотрим теперь разложение дроби в сумму простейших дробей в следующем частном случае.

a

Лемма 2. Правильную дробь вида pk , где k 2 и p − неприводимый мно-

гочлен, можно разложить в сумму простейших дробей.

Доказательство. Поскольку дробь правильная, то deg a k deg p . Разде-

лим a на p : a pq1 r1 , где deg r1 deg p . Ясно, что в этом случае стар-

ший одночлен суммы pq1 r1 находится в слагаемом pq1 и поэтому

deg a deg pq1 deg p deg q1 deg q1 deg a deg p k 1 deg p .

Продолжая деление с остатком, получим: q1 pq2 r2 , deg r2 deg p , deg q2 deg k 2 p

q2 pq3 r3 , deg r3 deg p , deg q3 deg k 3 p ,

. . . . . . . . . . .

qi pqi 1 ri 1 , deg ri 1 deg p , deg qi 1 deg k i 1 p ,

. . . . . . . . . . .

qk 3 pqk 2 rk 2 , deg rk 2 deg p , deg qk 2 deg 2 p , qk 2 pqk 1 rk 1 , deg rk 1 deg p , deg qk 1 deg p .

Окончательно, получаем a r1 pr2 p2r3 .. pk 2rk 1 pk 1qk 1 , где

Представляет собой разложение в сумму простейших дробей. Замечание 1. Если на каком-то шаге окажется, что ri 0 , то будем иметь

то есть часть слагаемых в предыдущем равенстве для разложения в сумму простейших будут отсутствовать. Можно поэтому считать, что числители отсутствующих слагаемых равны нулю.

Замечание 2. При практическом нахождении разложения в сумму простейших многочлены r1 , ..., ri 1,qi 1 записывают в виде полных многочленов степени p 1 с неопределенными коэффициентами.

P x

Теорема. Всякая правильная рациональная дробь вида Q x , где P x и

Q x − многочлены, может быть представлена в виде суммы простейших дробей.

Доказательство. Разложим многочлен Q x в произведение неприводи-

мых многочленов: Q x p1k1 ... psks , где многочлены p1 ,..., ps − различны.

Слагаемые в правой части равенства есть правильные дроби, к которым применима лемма 2, согласно которой каждую из них можно разложить в сумму простейших дробей. Теорема доказана.

Задача. Доказать, что сумма правильных дробей есть правильная дробь.

Замечание. В силу решенной выше задачи, неправильная дробь не может быть записана в виде суммы правильных дробей.