§ 4. Применение уравнений в полных дифференциалах: задачи из геометрии.

Настоящий параграф продолжает тему построения кривых линий заданием некоторых дифференциальных свойств этих кривых. В Главе 1, в § 3 настоящего Пособия получены выражения для характерных отрезков кривой, связанных с касательной и нормалью этой кривой в каждой её точке.

Ниже представлены примеры, в которых дифференциальные свойства кривых линий изучаются с использованием дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.

☺☺

Пример 4–07: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,0) и обладающей свойством: длина отрезка , отсекаемого на оси касательной к кривой в точке , больше модуля .

В Главе 1, в § 3 настоящего Пособия получено выражение: для отрезка =, отсекаемого касательной на оси ординат.

Решение:

1). Из условия задачи следуют два варианта использования равенства =:

▪ Случай-1: =, (1)

▪ Случай-2: =, (2)

или

▪ Случай-1: =0, (1)

▪ Случай-2: =0. (2)

Случай-1.

2). Проверим выполнение условия =. Вычислим: =1, =1 → уравнение (1) есть уравнение в полных дифференциалах. Далее применяем стандартный алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах.

2). Вычисляем: =+. В нашем случае: =+, или (учитывая при интегрировании переменную как параметр) =+.

где слагаемое играет роль постоянной интегрирования, то есть отражает множество первообразных.

3). Так как =, вычисляем: =–. В нашем случае:

=–=0.

4). Имея функцию , запишем выражение для вычисления функции =. В нашем случае: =0.

5). Запишем общее решение заданного уравнения в виде: ==.

6). Учитывая начальные условия, получим: . Запишем частное решение заданного уравнения в виде: =.

Ответ: общее решение =, частное решение: =.

Случай-2.

2). Проверим выполнение условия =. Вычислим: =3, =1 → уравнение (1) не есть уравнение в полных дифференциалах. Запишем уравнение (2) в виде: – стандартная форма линейного уравнения, где и . Далее применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения, принимая: .

3). Вычисляем интеграл: ==. Тогда:==.

4). Вычисляем интеграл: ==+=+.

5). Запишем общее решение уравнения: ==∙=.

6). Через точку (1,0) проходит интегральная кривая: =, так как=.

Ответ: для случая-1: общее решение =, частное решение =;

для случая-2: общее решение =, частное решение: =.

Замечание: Пример интересен тем, что для решения геометрической задачи потребовалось решать два разных типа дифференциальных уравнений, хотя дифференциальные свойства кривой определены вполне однотипными условиями!..

§ 5. Применение уравнений в полных дифференциалах: задачи из физики.

Рассмотрим еще один пример применения дифференциальных уравнений в задачах физики. Важно, что само уравнение естественно следует из наблюдаемого физического явления!

☺☺

Пример 4–08: Движение тела под действием постоянной силы в случае, если сопротивление среды пропорционально скорости, определяется ДУ: . Найти общее решение этого уравнения.

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение не имеет очевидных решений, Обозначив величины: = и =, перепишем уравнение в виде: . Решение этого уравнения зависит от того, к какому из способов мы обратимся.

Способ-1.

2). Пусть уравнение, записанное в виде: , было классифицировано нами как линейное дифференциальное уравнение, где и . Принимая , воспользуемся стандартным алгоритмом линейного уравнения.

3). Вычисляем интеграл: ==. Тогда:==.

4). Вычисляем интеграл: ==+ =+.

5). Запишем общее решение уравнения: =∙=.

Ответ: = – общее решение.

Способ-2.

Замечание: Конечно, мы видим, что задано линейное уравнение (даже в стандартной форме!), и его можно решить, применив стандартный алгоритм... Пусть мы этого не заметили!..

2). Применим к уравнению: интегрирующий множитель: ==. В таком случае, исходное уравнение принимает вид: . Далее возможны разные способы решения полученного уравнения.

Способ-2-1.

5). Мы могли заметить, что полученное уравнение можно записать (применяя дифференциал функции двух переменных) в виде равенства: , которое сразу (!) интегрируется: =. Результат интегрирования: =+, или =.

Способ-2-2.

5). Мы не заметили, что запись уравнения допускает применение Способа-2-1. Перепишем это уравнение: – стандартная запись уравнения в полных дифференциалах. Легко убедиться, что после применения стандартного алгоритма решения уравнения в полных дифференциалах решение будет иметь вид: =.

Ответ: общее решение: =.

Замечание: Пример иллюстрирует сразу 3 способа решения одной и той же задачи. Нетрудно заметить также, что способы решения задачи, то есть получение общего решения задачи, различаются как по сложности, так и по трудоёмкости!..

Пример 4–09: Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры от времени , если тело, нагретое до градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна градусам.

Решение:

Замечание: рисунок мотивирует решение задачи, а также намекает, что охлаждение тела происходит за счет молекулярного взаимодействия тела и среды: тело подвешено к потолку на тонкой нити, обладающей минимальной теплопроводностью.

1). Из условия задачи следует дифференциальное уравнение:

=. (1)

2). Уравнение (1) – ДУ с разделяющимися переменными. Его стандартная форма записи:

=. (2)

3). В результате интегрирования уравнения (2) получаем общее решение задачи:

=. (3)

4). Учитывая начальные условия, получаем частное решение задачи:

=. (4)

Ответ: общее решение: =, частное решение: =.

Замечание: 1). Полученный результат может рассматриваться как общая технология, которая будет применяться для расчетов аналогичных процессов для разных тел и разных начальных условий.

2). Характеристикой конкретного тела является коэффициент пропорциональности , который определяют экспериментально!

3). Учитывая широкие возможности использования интегрирующего множителя, рассматриваемая задача тоже может быть отнесена к теме ДУ в полных дифференциалах!

Пример 4–10: Через сколько времени температура тела понизится от величины до величины в помещении, температура которого равна . Известно, что за первые 10 мин тело охладилось до температуры ?

Решение:

Замечание: задача интересна как приложение уже полученного в Примере 4-09 общего решения: – закон охлаждение тела в заданных условиях. В рассматриваемом Примере определены начальные условия охлаждения тела: начальная температура тела , температура помещения .

1). Из условия задачи следует: , – понижение температуры в процессе, который длился =10 мин.

2). Из уравнения: для названных исходных данных →=.

3). Из уравнения запишем =, или = для названных исходных данных. В результате вычисления получаем: ≈40 мин.

Ответ: температура понизится за время ≈ 40 мин.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Задана функция: . Записать выражение для полного дифференциала этой функции.

2. Задана функция: . Записать выражение для частной производной .

3. Задана функция: . Записать выражение для частной производной .

4. Имеем дифференциальное уравнение: . Как проверить, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах?

5. Каков стандартный алгоритм решения ДУ в полных дифференциалах?

6. Как применяют стандартный алгоритм решения ДУ в полных дифференциалах?

7. Что такое интегрирующий множитель дифференциального уравнения?

8. При каком условии интегрирующий множитель ДУ зависит только от переменной ?

9. При каком условии интегрирующий множитель ДУ зависит только от переменной ?

• ◄ ≡ ► •