53

Глава 2. Однородные функции и однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальные уравнения 1-го порядка называют однородными, если для их записи используются однородные функции. Чтобы понять особенности записи однородного уравнения, познакомимся с однородными функциями, как их определяют в математическом анализе.

§ 1. Однородные функции.

В алгебре многочленназываютоднородным, если он состоит из членов одного и того же измерения. Так, многочлен:=есть однородный многочлен 2-й степени. Если в записиумножить переменныеина множитель, то весь многочлен приобретёт множительво 2-й степени:=. В общем случае, для однородного многочлена степени, можем записать:=.

Для нас важно, что свойством однородности могут обладать и функции более сложной природы. Например, для функции =можем записать:=, и её естественно назвать однородной функцией 2-й степени.

В общем случае для функции понятие однородности может быть принято в таком виде:

Определение: (2.1)

Функция называется однородной функцией порядка относительно переменных , если при любом значении верно равенство: = .

Из определения следует, что возможна запись: =. Это значит, что, в частном случае, функция может иметь нулевой порядок однородности, то есть=0.

Замечания: Показатель степени однородности может быть любым вещественным числом. Так, для функции: = показатель однородности: .

Так как предполагается использование однородных функций в обыкновенных дифференциальных уравнениях, ограничимся функциями двух переменных: . В этом случае для однородной функции нулевой степени верно:=, или=. Если положить:=, получим:===. Это значит, что функциязависит только от отношения независимых переменныхи.

Пусть имеем однородную функцию: =∙. Примем:=. В этом случае можем записать:=. Но,==. Учитывая все выражения, получаем общую запись для однородной функции степени:=∙.

Замечания: Запись: =∙ напоминает операцию вынесения общего множителя за скобку (в данном случае, за скобку функции).

☺☺

Пример 2–01: Задана функция: =. Определить является ли эта функция однородной. Если – однородная функция, установить её порядок.

Решение:

1). По определению необходимо сделать замену: и , и посмотреть, что из этого получается. Итак, ==∙.

Замечания: При исследовании однородности функции достаточно применять значение : для рассматриваемого промера это принципиально важно из-за присутствия корня!

2). Полученный результат сразу отвечает на оба вопроса: а) так как множитель смогли вынести за скобки функции → заданная функция – однородная; б) показатель степени показывает: заданная функция – однородная степени (порядка) = 4.

Ответ: заданная функция – однородная порядка = 4.

Пример 2–02: Задана функция: =. Можно ли представить её в виде выражения =∙?

Решение:

1). Если бы мы не имели результата предыдущего Примера, мы бы попробовали вынести все возможные общие множители за скобки функции. Но, мы знаем: =∙, и этим результатом воспользуемся!

2). Так как общая запись для однородной функции степени : =∙, то в нашем случае сразу получаем ответ: =∙.

Ответ: для заданной функции запись: =∙ возможна.

Пример 2–03: Заданы пары: функция → число. Выделите пары, в которых функция – однородная, а число – ее порядок : а) f = → =;

б) f = → =π; в) f = → =.

Решение:

1). Воспользуемся свойством однородной функции: =∙, применяя его к каждой из функций: а) =∙; б) =∙; в) =∙.

2). Следовательно, в случаях а) и б) пары функция → число, соответствуют друг другу, в случае в) неверно указан порядок однородной функции.

Ответ: пары а) и б) верно указывают соответствие.

☻