Глава 2. Однородные функции и однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Дифференциальные уравнения 1-го порядка называют однородными, если для их записи используются однородные функции. Чтобы понять особенности записи однородного уравнения, познакомимся с однородными функциями, как их определяют в математическом анализе.
§ 1. Однородные функции.
В алгебре многочлен
называют однородным,
если он состоит из членов одного и того
же измерения. Так, многочлен:
=
есть однородный многочлен 2-й степени.
Если в записи
умножить переменные
и
на множитель
,
то весь многочлен приобретёт множитель
во 2-й степени:
=
.
В общем случае, для однородного многочлена
степени
,
можем записать:
=
.
Для нас важно, что
свойством однородности могут обладать
и функции более сложной природы. Например,
для функции
=
можем записать:
=
,
и её естественно назвать однородной
функцией 2-й степени.
В общем случае для
функции
понятие однородности может быть принято
в таком виде:
Определение: (2.1) |
Функция
называется однородной функцией
порядка
|
относительно переменных
,
если при любом значении
верно равенство:
=
.
Из определения следует, что возможна запись: = . Это значит, что, в частном случае, функция может иметь нулевой порядок однородности, то есть =0.
Замечания:
Показатель степени однородности
может быть любым вещественным числом.
Так, для функции:
=
показатель однородности:
.
Так как предполагается
использование однородных функций в
обыкновенных дифференциальных уравнениях,
ограничимся функциями двух переменных:
.
В этом случае для однородной функции
нулевой степени верно:
=
,
или
=
.
Если положить:
=
,
получим:
=
=
=
.
Это значит, что функция
зависит только от отношения независимых
переменных
и
.
Пусть имеем
однородную функцию:
=
∙
.
Примем:
=
.
В этом случае можем записать:
=
.
Но,
=
=
.
Учитывая все выражения, получаем общую
запись для однородной функции степени
:
=
∙
.
Замечания: Запись: = ∙ напоминает операцию вынесения общего множителя за скобку (в данном случае, за скобку функции).
☺☺
Пример 2–01:
Задана функция:
=
.
Определить является ли эта функция
однородной. Если
–
однородная функция, установить её
порядок.
Решение:
1).
По определению необходимо сделать
замену:
и
,
и посмотреть, что из этого получается.
Итак,
=
=
∙
.
Замечания:
При исследовании однородности функции
достаточно применять значение
:
для рассматриваемого промера это
принципиально важно из-за присутствия
корня!
2). Полученный результат сразу отвечает на оба вопроса: а) так как множитель смогли вынести за скобки функции → заданная функция – однородная; б) показатель степени показывает: заданная функция – однородная степени (порядка) = 4.
Ответ: заданная функция – однородная порядка = 4.
Пример 2–02:
Задана функция:
=
.
Можно ли представить её в виде выражения
=
∙
?
Решение:
1). Если бы мы не имели результата предыдущего Примера, мы бы попробовали вынести все возможные общие множители за скобки функции. Но, мы знаем: = ∙ , и этим результатом воспользуемся!
2). Так как общая запись для однородной функции степени : = ∙ , то в нашем случае сразу получаем ответ: = ∙ .
Ответ: для заданной функции запись: = ∙ возможна.
Пример 2–03:
Заданы пары: функция → число. Выделите
пары, в которых функция – однородная,
а число – ее порядок
:
а) f
=
→
=
;
б) f
=
→
=π;
в)
f
=
→
=
.
Решение:
1).
Воспользуемся свойством однородной
функции:
=
∙
,
применяя его к каждой из функций: а)
=
∙
;
б)
=
∙
;
в)
=
∙
.
2). Следовательно, в случаях а) и б) пары функция → число, соответствуют друг другу, в случае в) неверно указан порядок однородной функции.
Ответ: пары а) и б) верно указывают соответствие.
☻