- •Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли.
- •§ 1. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •1.1. Определение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка.
- •1.2. Решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка.
- •1.2.1. Решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка способом вариации произвольной постоянной.
- •1.2.2. Решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка способом подстановки.
- •§ 2. Уравнения Бернулли.
- •2.1. Определение дифференциального уравнения Бернулли.
- •2.2. Способ решения дифференциального уравнения Бернулли.
- •§ 3. Применение линейных уравнений 1-го порядка в задачах геометрии
- •§ 4. Применение линейных уравнений 1-го порядка в задачах из физики
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли.
Линейные дифференциальные уравнения занимают особое место в инженерной практике. Решение многих задач геометрии также приводит к этому виду уравнений. Уравнения Бернулли интересны тем, что достаточно просто сводятся к линейным уравнениям. Но не только этим: широк класс практических задач, приводящих к уравнениям Бернулли.
§ 1. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
1.1. Определение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка.
Говорят, что алгебраическое выражение зависит от параметров линейно, если используется запись: =, где , , некоторые выражения, в которые не входят параметры . Подчеркнём: каждый из параметров участвует в выражении только в 1-ой степени, причём каждое слагаемое выражения использует только один параметр.
Определение: (3.1) |
Дифференциальное уравнение 1-го порядка называют линейным, если функция и ее производная входят в уравнение в 1-й степени. Запись линейного уравнения: будем называть стандартной, ,– некоторые функции переменной или (в частном случае) постоянные. |
Замечание: Если функции , непрерывны, то требования Теоремы о существовании и единственности решения уравнения выполняются.
☺☺
Пример 3–01: Из заданного набора дифференциальных уравнений: 1). ,
2). , 3). ,
4). , 5).
выделите линейные уравнения.
Решение:
1). Каждое из заданных дифференциальных уравнений содержит и . Это значит, требуется оценить каждое из уравнений на линейность применения этих величин.
2). Видим: уравнения 1), 4) и 5) – линейные, так как величины и используются в них только в 1-й степени. Уравнение 2) не является линейным, так как в нём используется . Уравнение 3) имеет два нарушения линейности: в нём используется и .
Ответ: линейными являются уравнения 1), 4) и 5).
Пример 3–02: Из заданного набора дифференциальных уравнений выделите линейные уравнения:
1). , 2). ,
3). , 4). .
Решение:
1). Каждое из заданных дифференциальных уравнений преобразуем так, чтобы вместо дифференциалов использовалась производная .
1). =, 2). ,
3). =∙, 4). .
2). Видим: уравнения 1), 2) и 4) – линейные, так как величины и используются в них только в 1-й степени. Уравнение 3) не является линейным, так как в нём нарушает линейность .
Ответ: линейными являются уравнения 1), 2) и 4).
Пример 3–03: Из заданного набора дифференциальных уравнений:
1). , 2). ,
3). , 4).
выделите линейные уравнения в стандартной форме.
Решение:
1). Видим: уравнения 1) и 4) – линейные, так как величины и используются в них только в 1-й степени, уравнение 2) – линейное по отношению к величинам и . Уравнение 3) не является линейным, так как в нём нарушает стандартность слагаемое .
2). Учитывая результаты анализа заданных уравнений, оформляем Ответ.
Ответ: уравнения 1) и 4) линейны по и ; уравнение 2) линейно по переменным и .
☻