78

Глава 4. Уравнения в полных дифференциалах.

Пусть имеем функцию двух переменных: . В математическом анализе для такой функции определено понятие полного дифференциала: , где и – частные производные функции по переменным и , соответственно. Для обоснования некоторых шагов общего алгоритма решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах нам потребуется теорема:

Теорема: (4.1)

Если функция определена и непрерывна по каждой из переменных в открытой области , а также: 1) в этой области существуют первые производные и ; 2) в некоторой точке области D существуют и непрерывны вторые смешанные производные и , то в этой точке выполняется равенство: = .

Замечание: Представленные в самом начале обозначенной в настоящей Главе темы сведения определяют требование: повторить тему о непрерывности и дифференцировании функций 2-х переменных в открытой области (математический анализ).

Изучение дифференциальных уравнений в полных дифференциалах ещё больше расширяет наши возможности при моделировании различных процессов в инженерной практике.

§ 1. Определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах обычно записывают в форме, использующей дифференциалы: . Эта форма использовалась в уравнениях с разделяющимися переменными, когда функции и удовлетворяли определённым требованиям, а именно: = и = . Для того, чтобы уравнение, использующее запись: , стало уравнением в полных дифференциалах, необходимо выполнение специальных (очень не простых) требований. Эти требования названы в определении:

Определение: (4.1)

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называют уравнением в полных дифференциалах, если функции и непрерывны и дифференцируемы, а также выполняется условие: = , причем частные производные и – непрерывные функции в области .

Замечание: Требования содержат частные производные. Техника их вычисления принципиально не отличается от привычного дифференцирования функции одной переменной!

Если функция такова, что = , то =0. Для этого случая можем записать равенство: (1)

Так как определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах представлено в виде записи: , то для понимания требований, указанных в Определении уравнения в полных дифференциалах, полезно записать:

+ = 0, (1)

+ = 0. (2)

В соответствии с Определением 4.1 записи (1) и (2) должны быть эквивалентны. Это значит, что и . В таком случае требование: = равносильно требованию равенства смешанных производных: = . В соответствии с Теоремой 4.1 последнее в нашем случае выполняется, так как производные и – непрерывные функции в каждой точке области .

Итак, сопоставление требований Теоремы 4.1 и условий, выполняемых функциями и в записи дифференциального уравнения: , полностью объясняет условия превращения его в уравнение в полных дифференциалах!

☺☺

Пример 4–01: Заданы функции двух переменных:

а) = , б) = , в) = , г) = ,

д) = , е) = , ё) = , ж) = .

Вычислить частные производные: и .

Решение:

1). Вычислим сначала все частные производные :

а) = , б) = , в) = , г) = ,

д) = , е) = , ё) = , ж) = .

1). Вычислим теперь все частные производные :

а) = , б) =0, в) = , г) = ,

д) = , е) =0, ё) = , ж) = .

Ответ: в тексте показаны все вычисленные производные.

Пример 4–02: Из заданного набора ДУ выделите уравнения в полных дифференциалах:

а) + =0; б) + =0;

в) + =0; г) + =0;

Решение:

1). Для решения задачи достаточно проверить выполнение условия = для уравнения, записанного в виде: .

а) вычислим = ; = → условие выполняется;

б) вычислим = ; = → условие выполняется;

в) вычислим = ; = → условие не выполняется;

г) вычислим = ; = → условие не выполняется.

2). Это значит, что в случаях а), б) имеем уравнения в полных дифференциалах.

Ответ: в случаях а), б) имеем уравнение в полных дифференциалах.

☻