92

Глава 5. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.

Рассмотренные ранее типы уравнений: уравнения с разделяющимися переменными, линейные, однородные... достаточно простоможно было разрешить относительно производной, то есть привести к нормальной форме:. Такие уравнения позволяют наиболее просто формулировать многие вопросы теории дифференциальных уравнений, а также находить их решения. Теперь мы рассмотрим такие уравнения, которые к форме записиприводятся сложно, или вовсе не приводятся.

§ 1. Общие положения.

Мы рассмотрим только некоторые из типов уравнений, неразрешённых относительно производной , причём имеющие специальную (легко распознаваемую) форму записи и стандартные алгоритмы решения. К таким уравнениям отнесём:

• многочлены - ой степени относительно символа;

• специальные формы записи уравнения , поддающиеся решению.

Для решения уравнения , не разрешённого относительно производной, в самом общем случае, можно было бы назватьметод параметрического решенияуравнения. Суть метода такова. Предположим, чтоудалосьнайти параметрическое представление переменных уравнения:,,, (1)

причем функции (1) обращают уравнение в тождество, то есть представляют решение этого уравнения.

Применение функций (1) сводит задачу к интегрированию уравнения разрешенного относительно производной. Действительно, воспользовавшись соотношением:, получим:

(2)

или . (3)

Предположим, что уравнение (3), имеющее нормальную форму записи, удалось решить, то есть найдено общее решение: (4)

В таком случае можем считать, что получено общее решениеуравнениявпараметрической форме:,. (5)

Если уравнение (3) имеет особое решение: , (6)

то функции ,(7)

могут определять особое решение уравнения . Определение особого решения, а также способы его нахождения в некоторых частных случаях рассмотрены в Главе 8.

Замечание: решение уравненияв параметрической форме предполагает значительные импровизации: общих схем нет; трудности интегрирования уравнения(3)такие же, как и в случае интегрирования уравнения:.

Рассмотрим некоторые частные случаи записи уравнения и способы решения уравнений для каждого предлагаемого случая (с применением общих схем).

§ 2. Уравнения 1-го порядка: многочлен - ой степени относительно символа .

Пусть уравнение есть многочлен - ой степени относительно символа :

, (1)

где – функции от переменных:(в частном случае постоянные).

В высшей алгебре доказано (теорема Безу), что многочлен левой части уравнения (1) в любом случае может быть преобразован в произведение простейших множителей:

. (2)

Это значит, исходное уравнение (1) порождает столько уравнений в нормальной форме, сколько различных скобок в записи (2). Решение каждого такого уравнения даст функцию , являющуюся решением заданного уравнения (1).

Замечание: На самом деле, начиная с многочлена 3-й степени, процесс разложения многочлена в произведение простейших скобок весьма трудоёмкий!..

Учтём все решения каждого из уравнений и запишем произведение: . (3)

Если разрешить уравнение (3) относительно , то это будет решением исходного дифференциального уравнения (1). Действительно, так как функция есть решение уравнения (3), то выполняется одно из уравнений: . Тогда, подстановка функции в равенство (2) превращает последнее в тождество (2). Последнее означает, что подстановка функции в равенство (1) превращает последнее в тождество (1). Тогда, по определению, функция есть решение исходного равнения.

Запись (3) является общим интегралом исходного уравнения (1). Для иллюстрации решения уравнения (1) рассмотрим пример.

☺☺

Пример 5–01: Найти общий интеграл уравнения: .

Решение:

1). Левую часть уравнения представим в виде: ∙=0.

2). Получили два уравнения: =0 и =0 с разделяющимися переменными.

3). Общие интегралы этих уравнений: – С –=0, – С +=0.

4). Общий интеграл исходного уравнения: – =0.

Ответ: общее решение: – =0.

☻