§ 7. Применение уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной: задачи из геометрии

Настоящий параграф продолжает тему построения семейства интегральных кривых заданием дифференциальных свойств этого семейства. Особенно ценно то, что эти свойства выражаются геометрическими фигурами: точки, отрезки, площади и т.п. Отметим также, что рассмотренные в настоящей Главе методы решения дифференциальных уравнений, не разрешённых относительно производной, значительно расширяют возможности исследования задач геометрии с применением дифференциальных уравнений!..

☺☺

Пример 5–09: Найти уравнение кривой, обладающей свойством: разность поднормали и подкасательной к кривой в любой точке равна удвоенной абсциссе этой точки.

ВГлаве 1, в § 3 настоящего Пособия получено выражение: для поднормали в виде направленного отрезка оси , который определяется вектором: =, и для подкасательной, определяемой как вектор: =.

Решение:

1). По условию задачи определяющее свойство кривой можно записать в виде векторного равенства: –=. Из этого равенства следует дифференциальное уравнение:

, или = (1)

2). Уравнение (2) есть частный случай уравнения Лагранжа, когда ψ(y′)=0.

3). Считая =, запишем последовательные преобразования уравнения (1):

= → = → ==, (2)

что удобнее для интегрирования: уравнение (2) тоже есть уравнение Лагранжа, стандартная форма которого: , где = и =0.

4). Примем: = и запишем для функции параметрическое выражение: . В нашем случае имеем: =, где =.

5). Исследуем разность: → равенство невозможно.

6). Составим линейное уравнение: –=. В нашем случае после несложных вычислений получаем уравнение: =, которое легко интегрируется: .

7). Запишем общее решение уравнения в параметрической форме: Исключая параметр, получим общее решение уравнения в виде: .

Замечание:1).Общее решение – семейство парабол. При изменении постоянной парабола деформируется (сжатие или растяжение) и смещается вдоль оси. При изменении знакапарабола зеркально отражается относительно оси.

2). Важно учесть, что из условия задачи следует, что первичным дифференциальным уравнением является уравнение:. Из этой записи следует, что очевидных решений в этой задаче нет. Учитывая преобразованное уравнение (1), в качестве решения могло быть принято тривиальное решение.

Ответ: – общее решение в параметрической форме, или .

Пример 5–10: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3,1), если длина отрезка, отсекаемого любой ее касательной на оси ординат, равна длине поднормали.

ВГлаве 1, в § 3 настоящего Пособия получено выражение: для длины поднормали = и для длины отрезка =.

Решение:

1). По условию задачи определяющее свойство кривой можно записать в виде равенства: =. Из этого равенства следует два случая:

▪ =; (1)

▪ =; (2)

Замечание: В каждой из записей (1) и (2) дифференциального уравнения задачи выделяется очевидное решение в виде функции: . Это решение не представляет интереса: его не станем указывать в Ответе данной задачи.

Случай-1.

2). Из условия (1) запишем уравнения Лагранжа: . В нашем случае это уравнение имеет вид: , где = и .

3). Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . В нашем случае: =.

4). Исследуем разность: . В нашем случае: . Из этого условия получаем значение: =0, что определяет решение (тривиальное).

5). Составим линейное уравнение: –=. В нашем случае: =– уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем уравнение (предварительно разложив дробь : осуществляется по общей формуле разложения, используемой при интегрировании рациональных дробей: математический анализ): =. В результате интегрирования (после несложных преобразований) имеем: =.

6). Если учесть запись , то =, и общее решение принимает вид: .

7). Используя заданные начальные условия (3,1), вычислим значение =3, и запишем частное решение: .

Случай-2.

2). Из условия (2) запишем уравнения Лагранжа: . В нашем случае это уравнение имеет вид: , где = и .

3). Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . В нашем случае: =.

4). Исследуем разность: . В нашем случае: . Из этого условия получаем значение: =0, что определяет решение (тривиальное).

5). Составим линейное уравнение: –=. В нашем случае: =– уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем уравнение (предварительно разложив дробь : осуществляется по общей формуле разложения, используемой при интегрировании рациональных дробей: математический анализ): =. В результате интегрирования (после несложных преобразований) имеем: =.

6). Если учесть запись , то =, и общее решение принимает вид: .

7). Используя заданные начальные условия (3,1), вычислим значение =3, и запишем частное решение: .

Ответ: – общее решение, частное решение: .

Замечание: рассмотренная задача была решена в Главе 2 приведением к форме однородного уравнения; результаты получены одинаковые, но на этот раз потребовались дополнительные изобретательность и терпенье для достижения одинаковости результата.

☻