- •Глава 5. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
- •§ 1. Общие положения.
- •§ 2. Уравнения 1-го порядка: многочлен - ой степени относительно символа .
- •§ 3. Уравнение, разрешенное относительно y и не содержащее X.
- •§ 4. Уравнение, разрешенное относительно X и не содержащее y.
- •§ 5. Уравнение, не разрешенное относительно y и не содержащее X.
- •§ 6. Уравнение, не разрешенное относительно X и не содержащее y.
- •§ 7. Уравнение Лагранжа.
- •§ 7. Применение уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной: задачи из геометрии
- •§ 8. Применение уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной: задачи из физики
§ 3. Уравнение, разрешенное относительно y и не содержащее X.
Из названия параграфа следует, что дифференциальное уравнение имеет вид: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:
1). Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .
2). Имея: , запишем . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = – уравнение с разделяющимися переменными.
3). Учтём решение , то есть =0. Принимая , можем записать: =. Интегрируя последнее, получаем: =.
4). Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .
☺☺
Пример 5–02: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Решение:
1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: =. Так как есть некоторая функция переменной , то и .
2). Имея: , запишем , где =. В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: =. В нашем случае: = – уравнение с разделяющимися переменными!
3). Учитывая, что , можем записать: =, которое легко интегрируется: =, то есть =.
4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.
Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . Так как для нас важнее освоение самого метода параметрического решения, то дальнейшие алгебраические упражнения советуем не выполнять!..
Ответ: общее решение: в параметрической форме.
Пример 5–03: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Решение:
1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: =. Так как есть некоторая функция переменной , то и .
2). Имея: , запишем , где =. В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: =. В нашем случае: = – уравнение с разделяющимися переменными!
3). Учтём решение , то есть . Принимая , можем записать: =.
4). Запишем: =++=. Вычислим =; применим замену: и запишем =; применим замену: и запишем ====; используя замену , запишем окончательно: = . Что касается вычисления интеграла , то здесь применением замены: сразу можем записать: =.
5). Окончательное выражение для неизвестной имеет вид: =++.
6). Составим систему: – это параметрическое решение.
Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать: не получится!..
Ответ: – общее решение в параметрической форме, также решение .
☻
§ 4. Уравнение, разрешенное относительно X и не содержащее y.
Из названия параграфа следует, что дифференциальное уравнение имеет вид: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:
1). Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .
2). Имея: , запишем . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = – уравнение с разделяющимися переменными.
3). Интегрируя уравнение: = получаем: =.
4). Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .
☺☺
Пример 5–04: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Решение:
1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: =.
2). Имея: , запишем , где =. В то же время , или: =. В нашем случае: = – уравнение с разделёнными переменными!
3). Интегрируем уравнение: ==, или =.
4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.
Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать!..
Ответ: – общее решение в параметрической форме.
Пример 5–05: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Решение:
1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: =.
2). Имея: , запишем , где =. В то же время , или: =. В нашем случае: = – уравнение с разделёнными переменными!
3). Интегрируем уравнение: =+=–+. Представив =, вычислим отдельно и . Первый: = (его обычно имеют в таблице интегралов!). Второй: = – его получают интегрированием по частям.
4). Составим систему: – это параметрическое решение.
Ответ: – общее решение в параметрической форме.
☻