§ 2. Способ решения ду в полных дифференциалах и общий алгоритм решения.

Пусть задано уравнение: , и установлено, что это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Так как частная производная = – это след дифференцирования функции по переменной , заметим, что все слагаемые функции , не содержащие , после дифференцирования бесследно исчезли! Учитывая это, построим общий алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах:

1). Применяя неопределённый интеграл к функции , запишем:

=+, (3)

где слагаемое играет роль постоянной интегрирования, то есть отражает множество первообразных.

2). Так как =, запишем это как требование к вычисленной функции (3):

==, (4)

3). Используя (4), запишем равенство для вычисления производной :

=–. (5)

4). Имея функцию , запишем выражение для вычисления функции =.

5). Так как из исходной записи дифференциального уравнения следует: =, можем записать общее решение этого уравнения в виде:

= +=. (6)

Замечание: При решении конкретного уравнения в полных дифференциалах необходимо максимально использовать готовый результат в виде формул (3), (5) и (6), а не выводить их каждый раз заново!

☺☺

Пример 4–03: Решить уравнение: , предварительно удостоверившись, что заданное ДУ – в полных дифференциалах:

Решение:

1). Проверим выполнение условия: =. В нашем случае =3 и =3. Это значит, что задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Вычисляем: =+. В нашем случае: =+, или (учитывая при интегрировании переменную как параметр) =+.

где слагаемое играет роль постоянной интегрирования, то есть отражает множество первообразных.

3). Так как =, вычисляем: =–. В нашем случае:

=–=.

4). Имея функцию , запишем выражение для вычисления функции =. В нашем случае: =.

5). Запишем общее решение заданного уравнения в виде: = =.

Ответ: общее решение =.

Пример 4–04: Решить уравнение: +=0, предварительно удостоверившись, что заданное ДУ – в полных дифференциалах:

Решение:

1). Проверим выполнение условия: =. В нашем случае получаем подтверждение факта, что заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах, в виде равенства:

==.

2). Вычисляем: =+=+, или (учитывая при интегрировании переменную как параметр) =+, где слагаемое играет роль постоянной интегрирования, то есть отражает множество первообразных.

3). Так как =, вычисляем: =–. В нашем случае:

=–=.

4). Имея функцию , запишем выражение для вычисления функции =. В нашем случае: =.

5). Запишем общее решение заданного уравнения в виде: = =.

Ответ: общее решение =.

☻

§ 3. Интегрирующий множитель.

Пусть левая часть уравнения не является полным дифференциалом некоторой функции. Возникает вопрос – нельзя ли найти такую функцию , что после умножения на неё данного уравнения левая часть превращается в полный дифференциал некоторой функции: → =, =.

По поводу существования для заданного ДУ функции интегрирующего множителя запишем теорему:

Теорема: (4.2)

Всякое ДУ первого порядка имеет интегрирующий множитель, нахождение которого определяется дифференциальным уравнением (в частных производных): =, или N– М= μ∙. (1)

►Доказательство теоремы вполне очевидно. Требования к участвующим функциям , , определяются выражениями (1): все участвующие функции непрерывны. ◄

В общем случае решение уравнения (1) может оказаться настолько сложным, что проще непосредственно интегрировать обыкновенное ДУ.

Задача становится достаточно простой, если зависит только от одного переменного или . Рассмотрим случай :

= ∙, или =. (2)

Из выражения (2) следует, выражение: не должно зависеть от переменной ! Верно и обратное: если выражение: не зависит от переменной , то интегрирующий множитель можно находить, интегрируя уравнение (2), причем, произвольную постоянную величину интегрирования принимают равной нулю, так как нам достаточно получить только одно выражение интегрирующего множителя.

Случай, когда интегрирующий множитель зависит только от переменной , решается аналогично. В этом случае уравнение (2) принимает вид: =–. (3)

Если обнаружится, что выражение не зависит от переменной , то интегрирующий множитель будем находить интегрированием уравнения (3).

☺☺

Пример 4–05: Решить уравнение: , используя интегрирующий множитель.

Решение:

1). Имеем: = –1, =, то есть заданное уравнение не есть уравнение в полных дифференциалах. Вычислим разность –=.

2). Теперь вычислим выражения: = – не зависит от переменной , то есть имеем случай, когда интегрирующий множитель зависит только от переменной . Интересно вычислить также величину: =. Это значит, будем вычислять , интегрируя уравнение (2): ==, откуда получаем =.

3). Умножив на интегрирующий множитель исходное уравнение, получаем:

+=0. (1)

4). Уравнение (1) интересно тем, что его можно решить несколькими принципиально разными способами. Рассмотрим два из них.

Способ-1.

5). Мы могли заметить, что уравнение (1) можно записать в виде: =0. Последнее подсказывает равенство: =0, которое сразу (!) интегрируется:

+ += x+y³+=. (2)

6). Результат (2) представим в более удобной форме: – общее решение заданного уравнения.

Способ-2.

5). Мы не заметили, что запись уравнения (1) допускает применение Способа-1. Тогда, считая уравнение (1) исходной записью уравнения в полных дифференциалах, примем: = и =. Далее применяем стандартный алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах, используя принятые в нём обозначения и .

6). Вычисляем: =+. В нашем случае: =+, или (учитывая при интегрировании переменную как параметр) =+.

где слагаемое играет роль постоянной интегрирования, то есть отражает множество первообразных.

7). Так как =, вычисляем: =–. В нашем случае:

=–=. (3)

8). Имея функцию , запишем выражение для вычисления функции =. В нашем случае: =.

9). Запишем общее решение заданного уравнения в виде: =+ =, что совпадает с результатом, полученным в Случае-1.

Ответ: общее решение: .

Замечание: Пример особенно хорош тем, что выразительно иллюстрирует возможности импровизаций человеческого интеллекта: применение Способа-1 решения задачи превращает сухую математическую работу в математический этюд!.. Это очень важно в мировоззренческом воспитании будущего инженера: быть нетерпимым к любым проявлениям ничтожности человека, зная возможности и предназначение Человека!..

Пример 4–06: Решить уравнение: , используя интегрирующий множитель. Для конкретности, пусть имеем уравнение: .

Решение:

Замечание: Конечно, мы видим, что задано линейное уравнение (даже в стандартной форме!), и его можно решить, применив стандартный алгоритм... Пусть мы этого не заметили!..

1). Перепишем заданное уравнение в виде: , и обозначим множители при дифференциалах: = и =1. Это значит: = и =0.

2). Теперь вычислим выражения: = – не зависит от переменной , то есть имеем случай, когда интегрирующий множитель зависит только от переменной . Это значит, будем вычислять , интегрируя уравнение (2): ==, откуда получаем =.

3). Умножив на интегрирующий множитель исходное уравнение, получаем уравнение в полных дифференциалах, которое можем решить, применив стандартный алгоритм.

Замечание: Это значит, что мы получили ещё один способ решения линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка!..

4). Применим полученный способ к заданному уравнению: . Конечно, мы видим, что это уравнение линейное, но станем применять интегрирующий множитель: =. В таком случае, исходное уравнение принимает вид: . Далее возможны разные способы решения полученного уравнения.

Способ-1.

5). Мы могли заметить, что полученное уравнение можно записать (применяя дифференциал функции двух переменных) в виде равенства: , которое сразу (!) интегрируется: =. Результат интегрирования: =+, или =.

Способ-2.

5). Мы не заметили, что запись уравнения допускает применение Способа-1. Перепишем это уравнение: – стандартная запись уравнения в полных дифференциалах. Легко убедиться, что после применения стандартного алгоритма решения уравнения в полных дифференциалах решение будет иметь вид: =.

Ответ: общее решение: =.

Замечание: Пример иллюстрирует сразу 3 способа решения одного и того же дифференциального уравнения!..