§ 5. Применение однородных уравнений 1-го порядка: задачи из геометрии.

В Главе 1 настоящего Пособия было показано применение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными в задачах из геометрии. Ниже представлены примеры, в которых дифференциальные свойства кривых линий изучаются с использованием однородных уравнений.

☺☺

Пример 2–15: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3,1), если длина отрезка, отсекаемого любой её касательной на оси ординат, равна длине поднормали.

В Главе 1, в § 3 настоящего Пособия получено выражение: для отрезка =, отсекаемого касательной на оси ординат, и = – поднормаль.

Решение:

1). Учитывая, что точки и могут располагаться по одну сторону от оси и по разные, запишем два варианта использования условия задачи =:

▪Случай-1: =; (1)

▪ Случай-2: =. (2)

Случай-1.

2). Нетрудно заметить из (1) решение , но оно нам не потребуется! Теперь примем и преобразуем уравнение (1) к виду:

. (3)

3). Примем и, используя (3), запишем выражение:1. Это значит, что в этом случае дополнительных решений нет. Вычислим интеграл==.

4). Для функции получено общее решение:=, или, учитывая, что, получаем общее решение использованием:, или . (4)

Случай-2.

5). На этот раз уравнение (2) запишем в виде: . (5)

6). Примем и, используя (5), запишем выражение:. Это значит, что и в этом случае дополнительных решений нет. Вычислим интеграл==.

7). Для функции получено общее решение:=, или, учитывая, что, получаем общее решение использованием:, или . (6)

8). Через точку (3,1) в Случае-1 проходит интегральная кривая: , в Случае-2 кривая линия: . (5)

Ответ: – общее решение ДУ; частное решение: .

Пример 2–16: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,0), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемая её нормалью на 2 больше абсциссы точки касания.

В Главе 1, в § 3 настоящего Пособия получено выражение: для отрезка =, отсекаемого касательной на оси абсцисс, и абсцисса .

Решение:

1). Учитывая, что точки и могут располагаться по одну сторону от оси и по разные, запишем два варианта использования условия задачи:

▪ Случай-1: ; (1)

▪ Случай-2: ; (2)

Случай-1.

2). Перепишем уравнение (1) к виду: . Его интегрирование даёт – общее решение уравнения (1): семейство парабол.

3). Из общего решения выделим параболу, проходящую через точку (1,0). Получаем , записываем частное решение: .

Случай-2.

4). Перепишем уравнение (2) к виду: . Его интегрирование даёт общее решение уравнения (2) : семейство эллипсов.

3). Из общего решения выделим эллипс, содержащий точку (1,0). Получаем , записываем частное решение: .

Ответ: Случай-1: – частное решение: парабола; Случай-2: – частное решение: эллипс.

Пример 2–17: Найти уравнение кривой , у которой длина подкасательной равна сумме абсциссы и ординаты точки касания, то есть сумме .

В Главе 1, в § 3 настоящего Пособия получено выражение: для длины подкасательной =.

Замечание: Из условия задачи: = следует, что сумма должна быть положительным числом!

Решение:

0). Для лучшего восприятия задачи воспользуемся рисунком: отрезки , абсцисса и ордината выделены красным цветом. В соответствии с условиями задачи, рассмотрим два случая:

▪ Случай-1: =; ▪ Случай-2: = (1)

Случай-1.

1). Используя условия (1), для рассматриваемого случая, запишем уравнение в виде: , или . Так как получена стандартная форма однородного уравнения для случая: , остаётся применить стандартный алгоритм его решения!

2). Примем и запишем выражение:. Так как равенствовыполняется при значении, получаем частное решение уравнения:, которое не представляет интереса для рассматриваемой задачи!

3). Принимая теперь: , запишем уравнение в виде: , которое можем интегрировать: +=. Общее решение представим в виде:, или (без логарифмов):, где. Используя выражение для, получим общее решение исходного уравнения в виде:.

4). Чтобы представить себе вид полученного семейства кривых, запишем его в виде: . Это сумма графиков прямойи гиперболы. Построив график для=1, можно вполне представить себе семейство кривых.

Случай-2.

1). Используя условия (1), для рассматриваемого случая, запишем уравнение в виде: , или . Так как получена стандартная форма однородного уравнения для случая: , остаётся применить стандартный алгоритм его решения!

2). Примем и запишем выражение:, то есть очевидных частных решений нет.

3). Принимая теперь: , запишем уравнение в виде: , которое можем интегрировать:, или, (без логарифмов) и учитывая выражение:,.

4). Чтобы представить себе вид полученного семейства кривых, запишем его в виде: . Это произведение графиков прямойи логарифма. Построив график для=1, можно вполне представить себе семейство кривых.

Ответ: Случай-1: ; Случай-2: , или .

Замечание: Нетрудно заметить, что в обоих случаях имеется очевидное решение , но оно не представляет! Потому везде принято .

☻