
- •Глава 4. Уравнения в полных дифференциалах.
- •§ 1. Определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах.
- •§ 2. Способ решения ду в полных дифференциалах и общий алгоритм решения.
- •§ 3. Интегрирующий множитель.
- •§ 4. Применение уравнений в полных дифференциалах: задачи из геометрии.
- •§ 5. Применение уравнений в полных дифференциалах: задачи из физики.
Глава 4. Уравнения в полных дифференциалах.
Пусть имеем функцию
двух переменных:
.
В математическом анализе для такой
функции определено понятиеполного
дифференциала:
,
где
и
– частные производные функции
по переменным
и
,
соответственно. Для обоснования некоторых
шагов общего алгоритма решения
дифференциальных уравнений в полных
дифференциалах нам потребуется теорема:
Теорема: (4.1) |
Если
функция
1)
в этой области существуют первые
производные
2)
в некоторой точке
то
в этой точке выполняется равенство:
|
Замечание:
Представленные в самом начале обозначенной
в настоящей Главе темы сведения определяют
требование: повторить тему о непрерывности
и дифференцировании функций 2-х переменных
в открытой области
(математический анализ).
Изучение дифференциальных уравнений в полных дифференциалах ещё больше расширяет наши возможности при моделировании различных процессов в инженерной практике.
§ 1. Определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах.
Уравнение
в полных дифференциалах обычно записывают
в форме, использующей дифференциалы:
.
Эта форма использовалась в уравнениях
с разделяющимися переменными, когда
функции
и
удовлетворяли определённым требованиям,
а именно:
=
и
=
.
Для того, чтобы уравнение, использующее
запись:
,
стало уравнением в полных дифференциалах,
необходимо выполнение специальных
(очень не простых) требований. Эти
требования названы в определении:
Определение: (4.1) |
Дифференциальное
уравнение 1-го порядка
причем
частные производные |
Замечание: Требования содержат частные производные. Техника их вычисления принципиально не отличается от привычного дифференцирования функции одной переменной!
Если
функция
такова, что
=
,
то
=0.
Для этого случая можем записать
равенство:
(1)
Так как
определение дифференциального уравнения
в полных дифференциалах представлено
в виде записи:
,
то для понимания требований, указанных
в Определении уравнения в полных
дифференциалах, полезно записать:
+
= 0, (1)
+
= 0. (2)
В
соответствии с Определением 4.1 записи
(1) и (2) должны быть эквивалентны. Это
значит, что
и
.
В таком случае требование:
=
равносильно требованию равенства
смешанных производных:
=
.
В соответствии с Теоремой 4.1 последнее
в нашем случае выполняется, так как
производные
и
–
непрерывные
функции в каждой
точке
области
.
Итак,
сопоставление требований Теоремы 4.1 и
условий, выполняемых функциями
и
в записи дифференциального уравнения:
,
полностью объясняет условия превращения
его в уравнение в полных дифференциалах!
☺☺
Пример 4–01:
Заданы функции
двух переменных:
а)=
,
б)
=
,
в)
=
,
г)
=
,
д)=
,
е)
=
,
ё)
=
,
ж)
=
.
Вычислить
частные производные:
и
.
Решение:
1).
Вычислим сначала все частные производные
:
а)
=
,
б)
=
,
в)
=
,
г)
=
,
д)
=
,
е)
=
,
ё)
=
,
ж)
=
.
1).
Вычислим теперь все частные производные
:
а)
=
,
б)
=0,
в)
=
,
г)
=
,
д)
=
,
е)
=0,
ё)
=
,
ж)
=
.
Ответ: в тексте показаны все вычисленные производные.
Пример 4–02: Из заданного набора ДУ выделите уравнения в полных дифференциалах:
а)
+
=0;
б)
+
=0;
в)
+
=0;
г)
+
=0;
Решение:
1).
Для решения задачи достаточно проверить
выполнение условия
=
для уравнения, записанного в виде:
.
а)
вычислим
=
;
=
→ условие выполняется;
б)
вычислим
=
;
=
→ условие выполняется;
в)
вычислим
=
;
=
→ условие не выполняется;
г)
вычислим
=
;
=
→ условие не выполняется.
2). Это значит, что в случаях а), б) имеем уравнения в полных дифференциалах.
Ответ: в случаях а), б) имеем уравнение в полных дифференциалах.
☻