§ 3. Применение линейных уравнений 1-го порядка в задачах геометрии
Настоящий параграф продолжает тему построения кривых линий заданием некоторых дифференциальных свойств этих кривых. В Главе 1, в § 3 настоящего Пособия получены выражения для характерных отрезков кривой, связанных с касательной и нормалью этой кривой в каждой её точке.
Ниже представлены примеры, в которых дифференциальные свойства кривых линий изучаются с использованием линейных уравнений 1-го порядка.
☺☺
П
ример
3–13:
Найти уравнение кривой, проходящей
через точку (1,1),
если отрезок
,
отсекаемый касательной к этой кривой
в точке
на оси абсцисс, равен квадрату ординаты
точки касания.
В Главе
1, в § 3 настоящего Пособия получено
выражение:
для отрезка
=
=
,
отсекаемого касательной на оси абсцисс,
и длина
=
.
Решение:
1). Из условия задачи следует: = . Это значит, что необходимо рассмотреть два случая:
▪
=
; (1)
▪
=
; (2)
Случай-1.
2). Запишем
уравнение (1), в виде:
–
стандартная
форма линейного уравнения, где
и
.
3). Вычисляем
интеграл:
=
=
.
Тогда:
=
=
(знак модуля опущен: учтены требования
к функции
).
4). Вычисляем
интеграл:
=
=
+
=
+
.
5). Запишем общее
решение уравнения:
=
∙
.
Для заданных начальных условий получаем:
=
и частное решение:
=
.
Случай-2.
2). Запишем
уравнение (2), в виде:
–
стандартная
форма линейного уравнения, где
и
.
3). Вычисляем интеграл: = = . Тогда: = = .
4). Вычисляем
интеграл:
=
=
+
=
+
.
5). Запишем общее
решение уравнения:
=
∙
– семейство кубических парабол. Для
заданных начальных условий получаем:
=
и частное решение:
=
.
Ответ: частное решение для Случая-1: = , для Случая-2: = .
Пример 3–14: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0,1), если площадь треугольника, образуемого осью абсцисс, касательной и радиус-вектором точки касания, постоянна и равна 1.
Решение:
В
Главе 1, в § 3 настоящего Пособия получено
выражение:
для отрезка
=
,
отсекаемого касательной на оси абсцисс,
и длина
=
.
1). Из
условия задачи следует:
=
=2,
где
=
,
=
.
Это значит, что необходимо рассмотреть
два случая:
▪
=2; (1)
▪
=
. (2)
Случай-1.
2).
Прежде всего, отметим, что из исходного
уравнения (1) имеет
и
.
Тогда можем это уравнение записать в
виде:
,
где
и
.
3). Вычисляем интеграл: = = . Тогда: = = , или = .
4). Вычисляем
интеграл:
=
=
+
=
.
5). Запишем общее
решение уравнения:
=
=
.
6). Найдём частное
решение уравнения, применяя начальные
условия
.
Для этого случая вычисляем
=
и записываем частное решение:
.
Полезно построить
эскиз графика интегральной кривой,
проходящей через точку (1,0):
.
На рисунке показано, как получается
нужная кривая: это сумма хорошо известных
функций гиперболы и прямой. Заметим,
что мы должны использовать только график
для значений
(в соответствии с начальными условиями).
Случай-2.
2).
В этом случае условия
и
также учитываются при получении
стандартной записи уравнения записать
в виде:
,
где
и
.
3). Вычисляем интеграл: = = . Тогда: = = , или = .
4). Вычисляем
интеграл:
=
.
В нашем случае получаем:
+
=
.
5
). Тогда:
=
=
– общее решение уравнения.
6). Найдём частное
решение уравнения, применяя начальные
условия
.
Для этого случая вычисляем
=1
и записываем частное решение:
.
График этой функции симметричен графику
кривой
,
построенной для Случая-1 решения задачи
(выделено красным цветом).
Ответ: 
– общее решение ДУ; частное решение:
,
заметим,
что мы должны использовать только график
для значений
!
Замечание: Если не заметить присутствия двух различных вариантов решения рассмотренной задачи, то зеркальное общее решение будет потеряно. Дополнительно задача подсказывает важность понимания начальных условий при исследовании конкретного процесса.
☻