1.2. Решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка.
Прежде чем приступим к рассмотрению способов решения линейных уравнений, заметим, что линейное уравнение в общем случае может быть записано в виде:
,
или
. (1)
Так как разработка стандартных алгоритмов решения линейного дифференциального уравнения предполагает использование стандартной записи линейного уравнения, то будем предполагать, что, с учётом тождественности преобразований, от записи (1) осуществлён переход к стандартной записи , именно:
,
где
=
и
=
. (2)
Учитывая,
что линейные уравнения рассматриваются
и при изучении дифференциальных уравнений
-
го порядка, применим общие понятия:
–
линейное однородное уравнение:
=0, (3)
–
линейное неоднородное уравнение:
. (4)
1.2.1. Решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка способом вариации произвольной постоянной.
Если
начать решение линейного уравнения с
простейшего случая (3): однородное
уравнение, то в этом случае мы имеем
знакомый тип уравнений –
уравнение с разделяющимися переменными.
Его общее решение записывается в виде:
=
.
Теперь представим себе, что решить нужно
неоднородное уравнение (4), а решение
соответствующего ему однородного
уравнения уже получено. Можно ли им
воспользоваться?
Было
принято неожиданное решение: что если
в записи
=
общего решения однородного уравнения
(3) принять
=
и потребовать, чтобы функция
=
была решением неоднородного уравнения
(4). Принятие
=
определило процесс
вариации произвольной постоянной и
название способа решения уравнения.
Теперь,
так как функция
=
–
решение
уравнения (4), выполним стандартные
действия, обозначив (для удобства)
=
:
1) вычислим
её производную
=
,
где
=
=
,
2) подставим и в уравнение (4).
В результате подстановки и в уравнение (4) имеем:
,
то есть
=
.
Так как
уравнение
=
есть уравнение с разделяющимися
переменными, то его интегрирование не
представляет особого труда:
=
,
где
–
постоянная интегрирования. Итак,
предположение о том, что функция
=
,
за счёт соответствующего выбора функции
может быть решением уравнения (4),
оправдалось:
=
∙
–
общее решение
уравнения (4). (5)
Используя стандартную запись линейного неоднородного уравнения (4), нами получен стандартный алгоритм его решения:
1).
Вычисляем интеграл:
и записываем функцию
=
.
2).
Вычисляем интеграл
=
и записываем:
=
=
∙
–
общее решение
уравнения (4).
3).
Если решение уравнения предполагало
нахождение частного решения уравнения
для заданных начальных условий
,
вычисляется соответствующее значение
произвольной постоянной
и записывается частное решение:
=
∙
.
Замечание: 1). При решении конкретного линейного неоднородного дифференциального уравнения его следует привести к стандартному виду и выполнить шаги стандартного алгоритма, не прибегая к помощи соответствующего однородного уравнения!
2). При практическом использовании алгоритма в записи общего решения будем применять символ вместо символа (так удобнее!).
☺☺
Пример 3–04:
Решить дифференциальное уравнение:
,
Решение:
1).
Заданное уравнение соответствует
стандартной форме:
и
.
2). Вычисляем
интеграл:
=
=
и записываем функцию:
=
=
.
3). Вычисляем
интеграл:
=
=
+
=
+
=
+
.
4). Запишем общее
решение уравнения:
=
=
∙
.
Ответ: = ∙ – общее решение.
Пример 3–05:
Решить дифференциальное уравнение:
,
Решение:
1).
Заданное уравнение приводим к стандартной
форме:
,
где
и
.
2). Вычисляем
интеграл:
=
=
.
Тогда:
=
=
,
или
=
.
3). Вычисляем
интеграл:
=
=
+
=
+
.
4). Запишем общее
решение уравнения:
=
=
∙
=
.
Ответ: = – общее решение.
☻