1.2.2. Решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка способом подстановки.
Применение
способа
подстановки
начинается с неожиданного предложения
искать решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения:
в виде произведения двух функций:
=
.
Замечание: Нетрудно заметить, что предложение искать решение неоднородного дифференциального уравнения в виде произведения: = соответствует результату применения более естественного способа решения уравнения методом вариации произвольной постоянной.
Так как
функция
=
должна быть решением заданного уравнения,
вычислим её производную:
=
.
Подставив
и
в уравнение (4), имеем:
.
Перепишем
последнее уравнение:
.
Так как на каждую из функций в произведении
пока никаких ограничений не накладывалось,
потребуем от функции
,
чтобы выполнялось требование:
.
Общее решение этого уравнения
=
.
Так как равенство
выполняется для любого значения
,
выберем простейшее:
=1.
Это значит, что
=
.
Остаётся
решить уравнение:
.
Его решение:
=
,
где
–
произвольная постоянная величина. Тогда
выражение
=
,
именно:
=
∙
–
общее решение
уравнения (4). (6)
Так как запись (6) ничем не отличается от записи (5), повторим стандартный алгоритм решения линейного однородного уравнения (4), записанный для способа вариации произвольной постоянной:
1). Вычисляем интеграл: и записываем функцию = .
2). Вычисляем интеграл = и записываем: = = ∙ – общее решение уравнения (4).
3).
Если решение уравнения предполагало
нахождение частного решения уравнения
для заданных начальных условий
,
вычисляется соответствующее значение
произвольной постоянной
и записывается частное решение:
=
∙
.
Замечание: Если в условии Задачи требуют решить уравнение конкретным способом: вариации произвольной постоянной или подстановки, начинать Решение можно со слов: применим стандартный алгоритм решения... Независимо от требуемого способа!..
☺☺
Пример 3–06:
Решить дифференциальное уравнение:
,
Решение:
1).
Запишем уравнение в стандартной форме:
,
где
и
.
2). Вычисляем
интеграл:
=
=
.
Тогда:
=
=
.
3). Вычисляем
интеграл:
=
=
+
=
.
4). Запишем общее
решение уравнения:
=
=
.
Ответ: = – общее решение.
Пример 3–07:
Решить дифференциальное уравнение:
,
y(0)=0.
Решение:
1).
Заданное уравнение соответствует
стандартной форме, где
и
.
2). Вычисляем
интеграл:
=
=
.
Тогда:
=
=
.
3). Вычисляем
интеграл:
=
=
+
=
.
4). Запишем общее
решение уравнения:
=
=
∙
=
.
5). Через точку
(0,0) проходит интегральная кривая:
,
так как
=0.
Ответ:
=
–
общее решение;
–
частное решение.
Пример 3–08:
Решить дифференциальное уравнение:
=
.
Решение:
1).
Прежде всего, отметим, что исходное
уравнение имеет очевидное решение
и не является линейным относительно
переменных
.
2).
Теперь принимаем
и приводим уравнение к стандартной
форме:
,
и
.
3). Вычисляем
интеграл:
=
=
.
Тогда:
=
=
,
или
=
.
4). Вычисляем
интеграл:
=
=
+
=
+
.
5). Запишем общее
решение уравнения:
=
∙
=
.
Ответ: = – общее решение.
Пример 3–09:
Решить дифференциальное уравнение:
.
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение имеет очевидное решение и не является линейным относительно переменных .
2).
Теперь принимаем
и запишем уравнение в стандартной форме:
,
и
.
3). Вычисляем
интеграл:
=
=
.
Тогда:
=
=
.
4). Вычисляем
интеграл:
=
=
+
=
+
.
5). Запишем общее
решение уравнения:
=
∙
=
.
Ответ: = – общее решение.
☻