103

Глава 6. Семейство кривых линий. Огибающая линия семейства кривых. Особые решения. Уравнение Клеро.

Особый интерес вызывает рассмотрение уравнения Клеро . Может показаться, что это всего лишь частный случай уравнения Лагранжа, когда.

На самом деле, в связи с этим уравнением затрагиваются такие геометрические свойства семейства кривых, которые не проявляются при решении других дифференциальных уравнений первого порядка.

Изучение совокупных свойств семейства интегральных кривых уравнения Клеро приводит к понятиям: огибающая семейства кривыхиособые решениядифференциальных уравнений.

§ 1. Семейство кривых линий.

Уравнение кривой линии (просто кривой) в общем случае можно определить выражением . Бывает, в уравнение кривой включают один или несколькопараметров. Параметрам могут присваиваться различные значения. Мы будем рассматривать только случаи, когда в выражение кривой входит только один параметр:(1)

Присутствие параметра в выражении(1)будем использовать следующим образом:

▪ параметр принимает произвольное (допустимое) значениеи определяет некоторую кривую линию;

▪ при изменении параметра кривая линия меняет свою форму и расположение на плоскости.

Совокупность всех, определяемых уравнением (1)кривых, называютсемейством кривыхс одним параметром –однопараметрическое семейство, а уравнение(1)уравнением этого семейства кривых.

Говорят, что две кривые в точке касаются, если они имеют в этой точке общую касательную. Может случиться, что существует такая кривая, что в каждой ее точке одна или несколько кривых семейства имеют касание. Изучению свойств таких кривых и поиску способов их нахождения посвящен следующий параграф.

§ 2. Огибающая линия семейства кривых.

Используя понятия семейства кривых и касания кривых в точке, определим огибающую линию семейства кривых:

Определение: (6.1)

Кривая, которая касается каждой кривой семейства в одной или в нескольких точках, причем вся состоит только из таких точек касания, называется огибающей данного семейства.

Замечание: мы будем рассматривать только такую огибающую линию, через каждую точку которой проходит только одна кривая семейства.

Из замечания следует, что каждой точке огибающей соответствует только одно значение параметра. Это значит, каждая точка огибающей определяется заданием параметра:

=,=,(2)

что можно рассматривать как параметрическое определение огибающей линии. Предполагается, что: ,и – непрерывные и дифференцируемые функции.

Из принятых обозначений следует, что для каждой точки огибающей имеет место тождество: .(3)

Запишем полный дифференциал для тождества (3):

, (4)

причем иозначают дифференциалы функций=,=.

Теперь выразим аналитически тот факт, что в выделенной точке =:

▪ касательная к кривой семейства (1):;(5)

▪ касательная к огибающей линии (2):=(6)

должны совпадать. Условие совпадения касательных можно записать в виде:

, (7)

причем, как и прежде, имеем в виду, что иозначают дифференциалы функцийи.

Замечание: 1). Выражения(5)и(6)действительно выражают касательные к кривым, если рассматриваемая точка не является особой, то есть не нарушается требование непрерывности и дифференцируемости функций,и.

2). Равенство (7)выполняется даже дляособых точек(!) некоторых кривых семейства: ведь особые точки кривой, заданной неявным уравнением:, определяются одновременно выполняемыми равенствами,.

Сопоставляя (7) и (4), учитывая, что– произвольное число, получаем требование к функциям(2) из условия касания:или в развернутом виде:

. (8)

Тождества (3) и (8) показывают, что у кривой семейства и огибающей общие точкаи касательная. Этот факт определяется системой уравнений:

(9)

Итак, если огибающая линия для семейства кривых существует, тоеё параметрические уравнения(2)получаются как решение системы(9) относительно переменных величини.

Если системы (9) не допускает решений =,=, то огибающей у исследуемого семейства кривых нет.

А что если, записав и решив систему (9), получили равенства (2). Будут ли функции =,=определять кривую линия без особых точек?

Так как функции (2) удовлетворяют системе (9), то будут выполняться тождества (3) и (8). Дифференцируя (3), получим (4), а сопоставляя (4) с (8), получаем (7). Так как рассматриваемая точка не является особой для соответствующей кривой семейства, то уравнение (5) выражает касательную к названной кривой, а равенство (7) определяет совпадение этой касательной с касательной (6) к кривой (2). В результате имеем: если кривая(2)получена решением системы(9),то кривая(2)будет огибающей семейства кривыхв том случае, когда кривые семейства не имеют особых точек.

Если кривые семейства имеют особые точки, причём множество этих точек образует кривую линию (2), то в этом случае выполняется (3), а тогда, в соответствии с Замечанием 2), и (7). Совместно условия (3) и (7) определяют (8), а значит, и систему (9). В этом случае кривая =,=может не быть огибающей. Итак, при наличии особых точек кривая (2), полученная решением системы (9), подлежит проверке. Эта кривая может быть:

▪ огибающей;

▪ геометрическим местом особых точек на кривых семейства;

▪ частью огибающей и частью таким геометрическим местом.

Обычно при разыскании огибающей линии семейства кривых поступают так. Не останавливаясь на записи системы, исключают из неё параметр и получают выражение вида:

. (10)

Очевидно, все точки кривой (2), полученной решением системы (9), должны удовлетворять уравнению (10). В этом случае общая схема анализа полученных результатов такова:

▪ если уравнение (10) не выражает никакой кривой, то огибающей нет;

▪ если уравнение (10) выражает кривую, то её называют дискриминантнойкривой.

Дискриминантной кривой может оказаться:

▪ либо огибающая, если она существует;

▪ либо геометрическое место особых точек на кривых семейства, если такие имеются;

▪ одна или несколько кривых семейства: в этом случае бесконечному множеству точек дискриминантной кривой будет соответствовать одно и то же значение параметра , совместно с ними удовлетворяющими системе (9).

Замечание: 1). Рассмотренные теоретические основы понятия огибающей линии для семейства кривых вполне очевидно показывают сложность решаемой задачи.

2). Ниже будут рассмотрены конкретные примеры, которые вполне помогут освоить практические методы нахождения огибающей линии для семейства кривых.

☺☺

Пример 6–01: Пусть имеем семейство окружностей: (здесь – радиус окружности; – параметр, который определяет центр окружности и может принимать любые значения). Найти огибающую линию этого семейства кривых.

Решение:

1). Запишем систему уравнений: а именно:

2). Исключим из системы уравнений параметр. Получаем функцию, которая в рассматриваемом примере имеет вид:, или, что определяет две прямые, параллельные оси(это можно было предвидеть, исходя из геометрических соображений).

Замечание: Заданное семейство кривых таково, что любая из кривых семейства не имеет особых точек. Это определило простейший случай нахождения огибающей линии заданного семейства!..

Ответ: огибающая линия: , на рисунке выделена красным.

Пример 6–02: Пусть имеем семейство кривых: . Найти огибающую линию этого семейства кривых.

Решение:

1). Дифференцируя уравнение семейства по параметру a, получим:, или.

2). Используя уравнение семейства кривых и результат дифференцирования по параметру, запишем систему: откуда нетрудно получить уравнение огибающей заданного семейства:– ось.

Ответ: – ось .

Замечание: 1). В Примере 6-01 огибающая как бы ограничивает (огибает) часть плоскости, занятую кривыми семейства (ещё говорят: кривые семействазаметаютчасть плоскости, ограниченной огибающей).

2). Пример 6-02 показывает картинкусемейства кривых линий и их огибающей линии, не похожую на картинку, рассматриваемую в Примере 6-01.

☻