§ 2. Уравнения Бернулли.
2.1. Определение дифференциального уравнения Бернулли.
Уравнения Бернулли рассматривают одновременно с линейными дифференциальными уравнениями, так как они достаточно просто приводятся к линейным уравнениям. Применение уравнений Бернулли расширяет наши возможности в исследованиях задач геометрии и физики.
Определение: (2.1) |
Дифференциальное
уравнение 1-го порядка
называют уравнением
Бернулли в стандартной форме,
если оно
имеет вид:
|
,
,
–
некоторые
функции переменной
или (в частном случае) постоянные и
значения
удовлетворяют требованиям:
и
.Замечание: Учитывая, что в приложениях дифференциальных уравнений обозначения независимой переменной и функции могут быть произвольными, запись уравнения Бернулли в стандартной форме будет сохранять свою форму.
Отметим,
что при значении
уравнение Бернулли превращается обычное
линейное неоднородное дифференциальное
уравнение в стандартной записи:
,
а при значении
–
в линейное однородное уравнение:
,
где
.
☺☺
Пример 3–10: Из заданного набора дифференциальных уравнений:
+
=
,
+
=
, 
,
=
, 
=
, 
выделить уравнение Бернулли:
Решение:
1).
Уравнениями Бернулли в форме
являются уравнения:
,
значение
и
,
значение
.
Уравнениями Бернулли в форме
являются уравнения:
,
значение
и
,
значение
.
2).
Уравнения
,
не являются уравнениями Бернулли ни в
форме
,
ни в форме
.
Ответ: уравнения Бернулли являются уравнения: , , , и .
☻
2.2. Способ решения дифференциального уравнения Бернулли.
Прежде чем приступим к рассмотрению способов решения линейных уравнений, заметим, что уравнение Бернулли в общем случае может быть записано в виде:
,
или
. (1)
Так как разработка стандартных алгоритмов решения уравнения Бернулли предполагает использование стандартной записи линейного уравнения, то будем предполагать, что, с учётом тождественности преобразований, от записи (1) осуществлён переход к стандартной записи , именно:
,
где
=
и
=
. (2)
Предположение,
что решение уравнения Бернулли может
быть сведено к решению линейного
неоднородного уравнения, подсказывает
1-й шаг общего алгоритма его решения:
разделить уравнение Бернулли на
.
Получим уравнение:
. (3)
Учитывая
опыт дифференцирования функций вида
=
,
где
,
нетрудно заметить, что для функции
=
производная:
=
.
В таком случае преобразование уравнения
Бернулли в линейное уравнение очевидно:
. (4)
Для
удобства перехода к стандартному
алгоритму решения линейного неоднородного
уравнения обозначим:
=
и
=
.
Перепишем уравнение (4):
. (5)
Используя стандартную запись линейного неоднородного уравнения (5), нами получен стандартный алгоритм его решения:
1). Имея стандартную запись уравнения Бернулли: , применяем подстановку в виде: = , и вычисляем: = и = – коэффициенты уравнения (5).
2).
Применяем подстановку
=
,
где
=
и
=
.
Вычисляем интеграл:
и записываем функцию
=
.
3).
Вычисляем интеграл
=
и записываем:
=
=
∙
–
общее решение
уравнения (5), где
=
.
4).
Если решение уравнения предполагало
нахождение частного решения уравнения
для заданных начальных условий
,
то соответствующее значение произвольной
постоянной
вычисляют из выражения:
=
∙
,
принимая
и
.
После этого записывается частное
решение:
=
∙
.
Замечание: При решении конкретного уравнения Бернулли его следует привести к стандартному виду (5) и выполнить шаги стандартного алгоритма решения линейного уравнения!
☺☺
Пример 3–11:
Решить дифференциальное уравнение:
=
,
Решение:
1).
Заданное уравнение запишем в виде:
=
–
уравнение Бернулли в стандартной форме
для случая
.
2).
Имея стандартную запись уравнения
Бернулли, применяем подстановку в виде:
=
,
и вычисляем коэффициенты:
=
и
=
.
В
нашем случае подстановка имеет вид:
=
=
,
коэффициенты:
=
,
=
.
3).
Применяем подстановку
=
,
где
=
и
=
.
Вычисляем интеграл:
и записываем функцию
=
.
В нашем случае
=
=
→
=
.
4).
Вычисляем интеграл
=
.
В нашем случае:
=
+
.
Применяя способ интегрирования по
частям, получим
=
.
5). Записываем:
=
=
∙
–
общее решение уравнения, где
=
.
В нашем случае:
=
∙
,
где
=
.
Ответ:
=
–
общее решение.
Пример 3–12:
Решить дифференциальное уравнение:
,
Решение:
1).
Уравнение относительно
очевидно не есть линейное, потому искать
в нём признаки уравнения Бернулли нет
смысла! Остаётся поискать линейность
относительно
.
Перепишем заданное уравнение: 
.
2).
Полученное уравнение есть уравнение
Бернулли в стандартной форме для
значения
,
при этом имеем:
и
.
3). Применим
подстановку:
=
и вычислим коэффициенты:
=
,
=
.
4).
Применяем подстановку
=
,
где
=
и
=
.
Вычисляем интеграл:
и записываем функцию
=
.
В нашем случае
=
=
→
=
.
Замечание:
в
последней записи выражения для функции
знак модуля опущен, так как в исходном
уравнении
предполагается
.
5).
Вычисляем интеграл
=
.
В нашем случае:
=
+
.
Тогда можем записать:
=
+
.
6). Запишем общее
решение уравнения:
=
∙
,
или
=
∙
.
Ответ:
–
общее решение.
☻