Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли.
Линейные дифференциальные уравнения занимают особое место в инженерной практике. Решение многих задач геометрии также приводит к этому виду уравнений. Уравнения Бернулли интересны тем, что достаточно просто сводятся к линейным уравнениям. Но не только этим: широк класс практических задач, приводящих к уравнениям Бернулли.
§ 1. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
1.1. Определение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка.
Говорят,
что алгебраическое выражение 
зависит от параметров
линейно,
если используется запись:
=
,
где
,
,
некоторые выражения, в которые не входят
параметры
.
Подчеркнём: каждый
из параметров
участвует в выражении
только
в 1-ой степени,
причём каждое
слагаемое
выражения
использует только
один параметр.
|
Определение: (3.1) |
Дифференциальное
уравнение 1-го порядка
|
называют линейным,
если функция
и ее производная
входят в уравнение в 1-й степени.
Запись линейного уравнения:
будем называть стандартной,
,
–
некоторые
функции переменной
или (в частном случае) постоянные.
Замечание:
Если функции
,
непрерывны, то требования Теоремы о
существовании и единственности решения
уравнения
выполняются.
☺☺
Пример 3–01:
Из заданного набора дифференциальных
уравнений: 1).
,
2).
,
3).
,
4).
, 5).
выделите линейные уравнения.
Решение:
1).
Каждое из заданных дифференциальных
уравнений содержит
и
.
Это значит, требуется оценить каждое
из уравнений на линейность применения
этих величин.
2).
Видим:
уравнения 1), 4) и 5) –
линейные, так как величины
и
используются в них только в 1-й степени.
Уравнение 2) не является линейным, так
как в нём используется
.
Уравнение 3) имеет два нарушения
линейности: в нём используется
и
.
Ответ: линейными являются уравнения 1), 4) и 5).
Пример 3–02: Из заданного набора дифференциальных уравнений выделите линейные уравнения:
1).
,
2).
,
3).
, 4).
.
Решение:
1).
Каждое из заданных дифференциальных
уравнений преобразуем так, чтобы вместо
дифференциалов использовалась производная
.
1).
=
,
2).
,
3).
=
∙
, 4).
.
2).
Видим:
уравнения 1), 2) и 4) –
линейные, так как величины
и
используются в них только в 1-й степени.
Уравнение 3) не является линейным, так
как в нём нарушает линейность
.
Ответ: линейными являются уравнения 1), 2) и 4).
Пример 3–03: Из заданного набора дифференциальных уравнений:
1). 
,
2).
,
3). 
, 4).
выделите линейные уравнения в стандартной форме.
Решение:
1).
Видим:
уравнения 1) и 4) –
линейные, так как величины
и
используются в них только в 1-й степени,
уравнение 2) –
линейное по отношению к величинам
и
.
Уравнение 3) не является линейным, так
как в нём нарушает стандартность
слагаемое
.
2). Учитывая результаты анализа заданных уравнений, оформляем Ответ.
Ответ:
уравнения 1) и 4) линейны по
и
;
уравнение 2) линейно по переменным
и
.
☻