- •Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную.
- •Геометрический смысл производной.
- •Арифметические свойства производной.
- •Производная обратной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производные элементарных функций.
- •Билет 7 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Производные высших порядков. Формула Лейбница.
- •Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков.
- •Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Коши. Физический смысл.
- •Теорема о среднем Лагранжа.
- •Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Формула Тейлора для многочленов.
- •Формула Тейлора для дифференцируемых функций.
- •Формула Тейлора для важнейших элементарных функций.
- •Билет 20 Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Непрерывна в и. Тогда, если- нечетное число, то криваяобращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет лиили, а есличетное, тоесть точка перегиба кривой.
- •Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.
- •Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •1) A – конечное.
- •Правило Лопиталя. Случай .
- •Раскрытие неопределенностей вида ,,,,.
- •Асимптота. Уравнение наклонной асимптоты.
- •Первообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.
- •Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование выражений вида.
- •Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
- •Интегрирование тригонометрических выражений.
- •Тригонометрические подстановки.
- •Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.
- •Ограниченность интегрируемой функции.
- •Суммы Дарбу. Их Свойства.
- •Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.
- •Билет 41 Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.
- •Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности.
- •Теорема 2 Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем ().
- •Интегрируемость по Риману непрерывной функции.
- •Интегрируемость по Риману монотонной функции.
- •Аддитивное и однородные свойства определенного интеграла Римана.
- •Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.
- •Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.
- •Билет 48 Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.
- •Определение объёма. Объем тела вращения.
- •Длина дуги кривой. Определение и вычисление.
Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
Пусть даны U и V, тогда по правилу интегрирования по частям
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
Пример 4:
Правило:
При интегрировании выражений вида , гдеP(x)-многочлен,
Если заU принимаем
Если заU принимаем
Пример5.
Билет 30
Интегрирование простейших рациональных дробей
1.
2.
4.
5.
рассмотрено в пункте 3
рассмотрено в пункте 4.
6.
7.
8.-случай 7
9.Случай 8.
Билет 31
Интегрирование рациональных дробей.
Пусть нужно найти неопределенный интеграл от рациональной действительной дроби. Если степень многочленаP k не меньше степени многочлена Q n (), то прежде всего разделим P на Q :
Многочлен R интегрируется без труда, а – правильная действительная дробь. Все трудности сводятся к интегрированию правильной дроби, которую мы снова обозначим черези представим в виде:
Тогда пусть ,
1 случай.
Знаменатель содержит простые действительные корни, тогда его можно разложить на простейшие множители: (см.Теор.1)
. Тогда
Приравнивая тождественно равные числители, получим:
Существуют 2 метода нахождения :
сравниваем коэффициенты при x с одинаковыми степенями; однако этот метод очень трудоемкий.
Т.к. равенства тождественны, можем взять , тогда. Так, подставляя поочереднонайдем все
Т.о., мы получили сумму элементарных дробей, которые можем легко проинтегрировать.
Пример
2 случай.
Знаменатель содержит кратные корни, тогда его можно представить в виде:
.
Пусть существуют n различных корней с кратностями , тогда
- и делаем все так же, как и в предыдущем примере.
Пример
3 случай.
Знаменатель содержит кратные корни и многочлены, имеющие комплексные корни;
, где многочлены ,имеют комплексные корни.
Тогда R(x) представим в виде:
Снова приводим к общему знаменателю и приравниваем числители.
Пример
4 случай
Знаменатель содержит кратные действительные и кратные комплексные корни;
Тогда R(x) представим в виде:
А дальше все делаем по старой схеме: методом неопределенных коэффициентов находим A, B...
Пример
Теорема 1
Любой многочлен над полем С раскладывается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами:
Доказательство
Если , то все в порядке:- линейный множитель с вещественными коэффициентами
Пусть тогда существует невещественный корень . Ему соответствует скобка.
Тогда если – корень, то сопряженный к немутоже будет корнем. Тогда наряду с множителембудет присутствовать множитель. Перемножим эти 2 скобки:- квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами, что и требовалось доказать.
Теперь нам нужно доказать, что любые правильные дроби раскладываются на простейшие.
Лемма 1
Пусть многочлен представим в виде:, где- выделили максимальное кол-во скобок (x-a)
и - степень числителя меньше степени знаменателя, тогда
, причем дробь - правильная; если, то;M(x) – многочлен с действительными коэффициентами.
Доказательство
Действуем так же, как в примерах: приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
; подставим , тогда, по условию
- нам нужно доказать, что это – многочлен, а не дробь. Подставим x=a, числитель при такой подстановке = 0, а это значит, что многочлен делится на, т.е.M(x) – многочлен с действительными коэффициентами.
Теперь докажем, что дробь - правильная, т.е. что.
Степень знаменателя дроби = n-1, для числителя ( M(x)): по условию и, да еще делим на (x-a) (), значит- меньше степени знаменателя, что и требовалось доказать.
Лемма 2
Если многочлен Q(x) имеет комплексный корень кратности k, т е представим в виде , при этом многочленимеет только комплексные корни, которые не являются корнямиN(x). , тогда дробь можно представить в виде:
, причем вторая дробь будет правильной. M(x) – многочлен с действительными коэффициентами.
Доказательство
Снова приведем дробь к общему знаменателю и приравняем числители. Получим
Пусть ,- корень многочлена,, значит сопряженное к немутоже корень. Подставими:
;Найдем определитель системы, чтобы выяснить, имеет она решения, или нет:
, значит, система разрешима и существуют A и B – решения системы, нужно доказать, что
, заменим A и B на :, решим сопряженную систему:- получили исходную систему;
так как столбец - решение, столбецявляется решением. А т.к. решение должно быть единственным (определитель),;M(x) находится аналогично Лемме 1 ; теорема доказана.
Обобщая все вышесказанное, получаем: («Теорему о разложении на простейшие дроби»)
Пусть многочлен представим в виде:и положим, тогда
Заметим, что в самой последней дроби степень числителя (первая) меньше степени знаменателя (вторая) , т.е. последняя дробь – правильная. И каждую из дробей-слагаемых мы можем проинтегрировать в элементарных функциях.
Общий вывод: Любая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях.
Билет 32