Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.

Определение: По определению кривая называется выпуклой вниз (вверх) на отрезке [a,b], если любая дуга этой кривой с концами в точках () расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.

Определение: Множество называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества, отрезок, соединяющий их лежит также в этом множестве.

Выпуклость вверх Выпуклое множество

Выпуклость вниз Невыпуклое множество

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие выпуклости на отрезке)

Пусть функция непрерывна на [a,b] и имеет вторую производную на (a,b). Для того чтобы кривая была выпуклой кверху (книзу) на [а,b], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство () для всех.

Доказательство:

Пусть наша кривая выпукла кверху на [a,b]. Тогда для любых х и h >0 таких, что х, х+2h[a,b], имеет место неравенство , откуда.

Если теперь и- произвольные точки интервала (a,b), то, положив h = (-)/n, будем иметь

.

Таким образом, (, и, переходя к пределу при, получим неравенство, показывающее, что производнаяна интервале (a,b) не возрастает. Но тогда на (a,b).

Обратно, пусть и. Нам нужно доказать, что функция, где, удовлетворяет неравенству. Допустим, что это не так. Тогда. Поэтому.

Применяя формулу Тейлора, получим

0=. Но в правой части этой цепочки равенств первый член по предположению отрицательный, а второй неположительный, поэтому правая часть меньше нуля, и мы пришли к противоречию.

Доказательство в случае аналогично.

Теорема доказана.

Билет 23

Правило Лопиталя. Случай 0/0.

Теорема 1: (Неопределенность вида 0/0)

Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а,

в этой окрестности и в той же окрестности, тогда, если, то

Доказательство:

1) A – конечное.

Доопределим функции: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x]

при

f(a)=g(a)=0 =>

2)

Пусть

Введем функции и

Теорема доказана.

Замечание: обратное неверно.

Пример:

Билет 24

Правило Лопиталя. Случай .

Теорема:

Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a иив некоторой выколотой окрестности точкиa, тогда, если

, то и

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность ,,, тогда по определению предела по Гейне

и

Тогда - дляf(x) определение предела вида |f(x)|>C, где C =

- аналогично для g(x)

Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства:

,

Используя термины можно записать:

,Пояснение:, а т.к.

Найдем теперь предел отношения к:

[ можно добавить или отнять, предел от этого не изменится ]

[ воспользуемся теоремой Коши: или- смотря, что больше]

- по определению предела по Гейне.

Мы получили еще не совсем теорему о сходимости последовательности через подпоследовательности, ( ее формулировка: если такова, что из любой её подпоследовательностиможно извлечь в свою очередь подпоследовательность, сходящуюся к конечному или бесконечному А, то предел=А) мы пока что только из самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не значит, что сама последовательность сходится.

Теперь возьмем произвольную последовательность и её произвольную подпоследовательность, тогда по только что доказанному из подпоследовательностимы можем выделить подпоследовательность, сходящуюся к, т. е.

Теперь мы взяли произвольную последовательность, поэтому

Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.

Билет 25