Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.

Теорема 1:

Если функции интегрируемы наи

Доказательство:

выполняется неравенство , тогда. Так как интегралы по условию существуют, по теореме о предельном переходе под знаком неравенства,. Теорема доказана.

Следствие:

Если - интегрируема на, то, по доказанному выше,- интегрируем на данном отрезке; тогда

Доказательство:

Известно неравенство: ; по данной теореме

; из самого правого интеграла минус можно вынести; получим:

. Следствие доказано.

Теорема 2: (о среднем)

Пусть интегрируемы на, причемна данном промежутке, тогда

, где ,

и

Замечание: sup и inf существуют, т.к. функция на данном промежутке интегрируема, а значит ограничена.

Доказательство:

Запишем неравенство: и домножим его на:

; тогда по теореме о неравенствах это неравенство сохранится и в интегралах:

()

Если , то и интеграли неравенство () выполняется.

Если , тогда по теореме о неравенствах, значит можно неравенство () на него разделить:

и принимаем за . Теорема доказана.

Следствие:

Если непрерывна наи выполняется условие теоремы, то

Доказательство:

Т.к. непрерывна на, то она достигает своегоmax и min значения, а в силу непрерывности sup=max, inf=min; значит - по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции. Следствие доказано.

Следствие к следствию:

Если непрерывна на, то

Доказательство:

Возьмем , тогда (по следствию). Следствие доказано.

Геометрический смысл этого следствия:

Если считать площадь криволинейной трапеции, то найдется такая точка , что площадь этой криволинейной трапеции будет равна площади прямоугольника с высотой.

Билет 47

Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим функцию , интегрируемую на отрезке. По аддитивному свойству интеграла:

, можно найти отрезок на котором представляется возможным рассмотреть функцию.

Теорема:

Если функция интегрируема на отрезке, тонепрерывна на отрезке.

Доказательство:

Рассмотрим функцию ,

, где ,,, где

Теорема доказана.

Теорема:

Пусть функция интегрируема на отрезке, непрерывна в точке, тогда функциядифференцируема в точкеи.

Доказательство:

,

, , т.е.

.

Теорема доказана.

Следствие:

Если функция непрерывна на отрезке, то, т.е.- первообразная.

,

Функция непрерывна в точке,;, гденепрерывна на отрезке. Заключаем, что.

Т.е. любая непрерывная функция имеет первообразную.

Теорема доказана.

Формула Ньютона-Лейбница:

Функция непрерывна на отрезке, тогда она имеет первообразную. Пусть- её произвольная первообразная. Тогда.

Доказательство:

Функция непрерывна на отрезке,- первообразная функции,

, ,

. Теорема доказана.

Билет 48 Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.

Определение: Пусть множество иA– ограничено. Рассмотрим множество (объединение прямоугольников), такое что , и множество , такое что , и назовем и фигурами. Площади этих фигур и можно посчитать. Т.к. множество оганичено сверху (S(A)). Аналогично ограничено снизу (нулем) . Если , то это площадьA, а множество называетсяквадрируемым.

Пример1:Пусть τ – отрезок и . Ø. При этомS(M΄)=0и . Пусть длина отрезка равнаd, тогда , а длиныdи высотыh. Тогда . ПолучилиS(τ)=0.

Пример2: . , Ø и , т.к. никакой прямоугольник полностью не лежит в этом множестве. , т.е. , поэтому . Получаем, что , поэтому множествоA- не квадрируемое.

Пусть f(x)≥0на[a,b]. Криволинейная трапецияT- множество(x,y), такое чтоa≤x≤bи0≤y≤f(x).

Теорема: (О площади криволинейной трапеции).

Пусть функция f(x)≥0 на [a,b]. Криволинейная трапеция T квадрируема тогда и только тогда(), когда функция f(x) интегрируема на [a,b]. При этом площадь T равна: .

Доказательство:: По основной теореме . Найдутся такие и , что и . Тогда.

:, так как криволинейная трапецияTквадрируема. ТогдаОбе интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу (S).,. Следовательно, поэтому функцияf(x)интегрируема (из следствия основной теоремы).

Пример. x²+y²=R².a≤x≤b(a=-R, b=R), и0≤y≤. При этом

Замечание к определению площади: Множества можно заменить на любые другие квадрируемые множества. Если - фигуры, - квадрируемые множества, т.е. существуют площади и при этом , то при получим все то же самое.

Пусть множество задано вполярных координатах:x=r·cost, y=r·sint. Рассмотрим множествоA, такое, чтоα≤t≤βи0≤r≤r(t). Введем разбиение угла[α,β]: α=t₀<t₁<t₂<…<t_n=β. При этомΔt_i=[t_i ,t_i+1]. Рассмотрим сектора окружностейr_i=m_i– это будут сектораиr_i=M_i– это будут сектора.и. Окружности (с углом 2π) соответствует площадьπR², а сектору с углом α – площадьαR²/2. Поэтомуи.и- нижняя и верхняя суммы Дарбý для функцииf=r²/2. Получими. То есть площадьS(A)существует и равнаS(т.е.Aквадрируема) тогда и только тогда, когда существует интеграл.

Билет 49