Отсутствуют: 18 и 21 вопросы; Нуждается в дополнении: 43 вопрос; Возможно нуждается в дополнении 40 и 41 вопросы.

Вопрос 1. Определение производной, ее геометрический смысл.

Определение: Производной от функции в точкеназывается предел, к которому стремится отношение ее приращенияв этой точке к соответствующему приращениюаргумента, когда последнее стремится к нулю:

Т.е., если определена в, то

Теорема 1:

График функции имеет невертикальную касательную тогда и только тогда, когда существует конечное значение производной этой функции в данной точке.

Доказательство:

Пусть существует значение f’()-конечное, тогда

при

Секущая стремится к касательной.

=> ч.т.д.

Пусть существует невертикальная касательная => существует - конечный.

Секущая стремится к касательной.

=>

Теорема доказана.

Вопрос 2. Непрерывность функции, имеющей производную.

Теорема: (необходимое условие существования производной)

Если функция имеет конечнуюв точке, тонепрерывна в точке.

Доказательство:

При ,

Следовательно - непрерывна в точке.

Теорема доказана.

Замечание: обратное утверждение неверно, если функция непрерывна в точке,

то отсюда не следует, что она имеет производную в этой точке

Контрпример:

Утверждение: если функция имеет в точке правую и левую производную, то она непрерывна и справа и слева.

Контрпример:

Вопрос 3. Производная суммы, произведения, частного.

Пусть f = f(x) и g = g(x) – функции, имеющие конечные производные в точке x₀, тогда справедливы равенства:

1. 

2. 

   1. где k – константа

3. 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.

2.

Заметим, что функция f , как имеющая производную, непрерывна, и потому при

3.

Вопрос 4. Производная обратной функции.

Определение: Пусть на интервале (a,b) задана непрерывная строго монотонная, т.е. строго возрастающая или строго убывающая, функция . Пусть образ (a,b) есть интервал (A,B). тогда обратная к функцияесть однозначная непрерывная и строго монотонная на (A,B) функция.

Зафиксируем и дадим ему приращениеТогдаполучит соответствующее приращение

Наоборот,

Вследствие непрерывности прямой и обратной функций для указанных имеет место утверждение: изследует, и обратно.

Пусть теперь функция в точке у имеет неравную нулю производную. Покажем, что в таком случае функциятакже имеет в соответствующей точке х производную. В самом деле,

Так как из того, что следует, что, то

Этим доказано, что если есть строго монотонная непрерывная функция иобратная к ней функция, имеющая в точке у производную, то функцияимеет в соответствующей точке х производную, определяемую формулой (1).

Может случится, что в точке В этом случае, очевидно, функцияимеет в соответствующей точке х производную.

Если же , то для строго возрастающей функции при этом, а для строго убывающей. В первом случае, а во втором.

Пример 1.

Если логарифм натуральный, то

.

Функция ln x как действительная функция определена только для положительных значений х.

Пример 2.

где

Пример 3.