- •Вопрос 1. Определение производной, ее геометрический смысл.
- •Вопрос 2. Непрерывность функции, имеющей производную.
- •Вопрос 3. Производная суммы, произведения, частного.
- •Вопрос 4. Производная обратной функции.
- •Вопрос 5. Определение дифференцируемости функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Вопрос 6. Дифференциал. Его геометрический смысл.
- •Вопрос 7. Производная сложной функции.
- •Вопрос 8. Производная высших порядков. Дифференциал высших порядков.
- •Вопрос 9. Дифференцирование параметрически заданной функции.
- •Вопрос 10. Теорема Ферма. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 11 Теорема Ролля. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 13. Теорема о среднем Лагранжа. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 14.
- •Раскрытие неопределенностей вида ,,,,.
- •Вопрос 15. Разложение многочлена по степеням (х-а)
- •Вопрос 16. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •Вопрос 17.
- •Вопрос 21. Достаточное условие экстремума функции, имеющей n-ную производную.
- •Вопрос 22.
- •Выпуклость и вогнутость прямой. Точки перегиба.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Вопрос 25. Неопределенный интеграл. Его свойства.
- •Вопрос 26. Метод внесения под знак дифференциала. Метод подстановки.
- •Вопрос 27. Интегрирование по частям.
- •Вопрос 28. Интегрирование рациональных дробей.
- •Вопрос 29.
- •Вопрос 31. Интегральная сумма, ее предел. Определение определенного интеграла.
- •Вопрос 32. Необходимое условие интегрируемости.
- •Вопрос 33. Суммы Дарбу. Их свойства.
- •Вопрос 34.
- •Вопрос 37. Интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность.
- •Вопрос 38. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.
- •Вопрос 39. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Вопрос 40. Замена переменной в определенном интеграле.
- •Вопрос 41. Интегрирование по частям определенного интеграла.
- •Вопрос 42. Теорема о среднем для определенного интеграла.
- •Вопрос 43. Непрерывная и гладкая прямая, заданная параметрически. Длина этой кривой.
- •Вопрос 44. Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат.
- •Вопрос 45. Объем тел вращения.
Вопрос 41. Интегрирование по частям определенного интеграла.
Интегрирование по частям — один из способовнахожденияинтеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральнаяфункцияможет быть представлена в виде произведения двухнепрерывныхигладкихфункций (каждая из которых может быть какэлементарнойфункцией, так икомпозицией), то справедливы следующие формулы дляопределённогоинтеграла:
Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем. В противном случае применение метода не оправданно.
Пример:
Вопрос 42. Теорема о среднем для определенного интеграла.
Теорема о среднем
Пусть интегрируемы на, причемна данном промежутке, тогда
, где ,
и
Замечание: sup и inf существуют, т.к. функция на данном промежутке интегрируема, а значит ограничена.
Доказательство:
Запишем неравенство: и домножим его на:
; тогда по теореме о неравенствах это неравенство сохранится и в интегралах:
()
Если , то и интеграли неравенство () выполняется.
Если , тогда по теореме о неравенствах, значит можно неравенство () на него разделить:
и принимаем за . Теорема доказана.
Вопрос 43. Непрерывная и гладкая прямая, заданная параметрически. Длина этой кривой.
Пусть l — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (— касательный вектор кривой l. Пусть также функцияи вектор-функцияопределены и интегрируемы вдоль кривой l в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда
Вопрос 44. Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат.
Пусть множество задано в полярных координатах:x=r·cost, y=r·sint. Рассмотрим множествоA, такое, чтоα≤t≤βи0≤r≤r(t). Введем разбиение угла[α,β]: α=t0<t1<t2<…<tn=β. При этомΔti=[ti ,ti+1]. Рассмотрим сектора окружностейri=mi– это будут сектораиri=Mi– это будут сектора.и. Окружности (с углом 2π) соответствует площадьπR2, а сектору с углом α – площадьαR2/2. Поэтомуи.и- нижняя и верхняя суммы Дарбý для функцииf=r2/2. Получими. То есть площадьS(A)существует и равнаS(т.е.Aквадрируема) тогда и только тогда, когда существует интеграл.
Вопрос 45. Объем тел вращения.
Рассмотрим вращение произвольное тело вращения.
Пусть - есть произвольная непрерывная функция, причемна отрезке. Будем вращать данную кривую на отрезкевокруг оси. Получим тело вращения.
Разобьем отрезок :. Пусть,. Рассмотрим два цилиндраи(см. рис. ),. Теперь пусть
и . Нетрудно видеть , что
и . Это означает, что еслифункция интегрируема на отрезке, то и. При вращении вокруг осиформула примет вид.
Пример: Рассмотрим вычисление объема тела вращения на примере шара:
. Значит объем шара равен: .