Раскрытие неопределенностей вида ,,,,.
Кроме
рассмотренных неопределенностей
и
,
встречаются неопределенности вида
,
,
,
,
,
определение которых очевидно. Эти
неопределенности сводятся к
неопределенностям
или
алгебраическими преобразованиями.
Неопределенность
(
при
).
Ясно,
что
или
.
Неопределенности вида
,
,
для выражения
сводятся
к неопределенности
.
Согласно
определению этой функции
.
,
то
.
Неопределенность
(
,
,
при
)
Легко
видеть, что
.
Вопрос 15. Разложение многочлена по степеням (х-а)
Рассмотрим произвольный многочлен степени n:
(1) 
Пусть
a
– любое фиксированное число, тогда,
полагая
,
получим
(2) 
Это
выражение называют разложение многочлена
по степеням
.
Здесь
– числа, зависящие от
и
,
– коэффициенты разложения
по степеням
.
Подставим
в выражение (2)
,
получим
(3) 
Найдем
последовательные производные
и подставим в ним
Таким
образом, многочлен
может быть представлен в виде
или
Последняя
формула называется формулой Тейлора
для многочлена
по степеням
.
Отметим, что правая часть этого выражения
фактически не зависит от
.
Вопрос 16. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Если
функция f(x)
n
раз дифференцируема в точке а, то для
нее существует многочлен
- это многочлен Тейлораn-го
порядка функции f(x)
в точке a.
Обозначим за
- на сколько многочлен отличается от
самой функции.
называют остаточным членом. Нужно
доказать, что для «хороших» функций
будет достаточно мало. Докажем теорему,
которую сформулируем в конце. =))
Рассмотрим функцию f; зафиксируем точку a, в которой будем раскладывать функцию, и произвольную точку x, такую что f(x) n-1 раз дифференцируема на [a,x] и n раз дифференцируема на (a,x). В точке а функция дифференцируема n-1 раз, значит для нее можно составить многочлен Тейлора n-1 порядка.
Представим
в
виде:
,
где р – произвольное число,H
– некоторая функция, зависящая от x.
Рассмотрим
функцию :
Рассмотрим
F(u)
на [a,x]:
F(u)
непрерывная на [a,x],
дифференцируема на (a,x),
F(x)=F(a)
по
теореме Ролля
;
продифференцируем:
-
и почти все взаимно уничтожается.
,
тогда
;
Подставим
теперьp:=n;
-
это остаточный член в форме Лагранжа.
Вопрос 17.
Остаточный член в форме Пеано.
Рассмотрим форму Лагранжа:
Пусть теперь f имеет непрерывную n-ю производную в точке а. Это означает, что на [a,x) функция n раз дифференцируема. Значит f(x) можно представить в виде:
;
,
т.к. производная непрерывна. Тогда
можно представить в виде:
;
-
это формула Тейлора с остаточным членом
в форме Пеано.
Вопрос 18.
Ряд Тейлора, его сходимость, признак сходимости.
Вопрос 19.
Экстремум функции. Необходимое условие экстремума непрерывной функции.
Рассмотрим
график непрерывной функции y=f(x),
изображенной на рисунке. Значение
функции в точке x1 будет больше
значений функции во всех соседних точках
как слева, так и справа от x1. В этом
случае говорят, что функция имеет в
точке x1 максимум. В точке x3 функция,
очевидно, также имеет максимум. Если
рассмотреть точку x2, то в ней значение
функции меньше всех соседних значений.
В этом случае говорят, что функция имеет
в точке x2 минимум. Аналогично для
точки x4.
Функция y=f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x0).
Функция y=f(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x0).
Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.
Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.)
Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.
Доказательство.
Пусть для определенности в точке x0 функция
имеет максимум. Тогда при достаточно
малых приращениях Δx имеем f(x0+
Δx)<f(x0), т.е. 
Но
тогда
Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→ 0 и учитывая, что производная f '(x0) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0, получаем: при Δx → 0 – 0 f'(x0) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 f'(x0) ≤ 0. Так как f '(x0) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f '(x0) = 0.
Вопрос 20.
Экстремум функции. Достаточное условие экстремума непрерывной функции.
Рассмотрим
график непрерывной функции y=f(x),
изображенной на рисунке. Значение
функции в точке x1 будет больше
значений функции во всех соседних точках
как слева, так и справа от x1. В этом
случае говорят, что функция имеет в
точке x1 максимум. В точке x3 функция,
очевидно, также имеет максимум. Если
рассмотреть точку x2, то в ней значение
функции меньше всех соседних значений.
В этом случае говорят, что функция имеет
в точке x2 минимум. Аналогично для
точки x4.
Функция y=f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x0).
Функция y=f(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x0.
Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.
Теорема 1: (первое достаточное условие существования экстремума)
Если
f(x)
дифференцируема в
,f’
имеет разные знаки слева и справа от Xo
=> Xo
– точка экстремума.
Доказательство:
Т.к f(x) с одной стороны возрастает, с другой убывает, т.е.
-
max
-
min
Теорема доказана.
Теорема 2: (второе достаточное условие существования экстремума)
Если
в
f(
)=0,f’’(
)>0
–min;
f’’(
)<0
–max
Доказательство:
f’(
)=0,
существуетf’’(
)=>f’
определена в U(
)
f’(x)
в точке
возрастает(f’’(
)>0)
f’(x)
в точке
убывает(f’’(
)<0)
1)
f’’(
)>0f’(x)
возрастает, f’(
)=0
=>
при
x<
при
x<
=>
– точка минимума
2)
Аналогично для f’’(
)<0…