Достаточные условия экстремума.

Теорема 1: (первое достаточное условие существования экстремума)

Если f(x) дифференцируема в ,f’ имеет разные знаки слева и справа от Xo => Xo – точка экстремума.

Доказательство:

Т.к f(x) с одной стороны возрастает, с другой убывает, т.е.

- max

- min

Теорема доказана.

Теорема 2: (второе достаточное условие существования экстремума)

Если в f()=0,f’’()>0 – min; f’’()<0 –max

Доказательство:

f’()=0, существуетf’’()=>f’ определена в U()

f’(x) в точке возрастает(f’’()>0)

f’(x) в точке убывает(f’’()<0)

1) f’’()>0f’(x) возрастает, f’()=0 =>

приx<

при x<=>– точка минимума

2) Аналогично для f’’()<0…

Билет 17

Формула Тейлора для многочленов.

Рассмотрим произвольный многочлен степени n:

(1)

Пусть a – любое фиксированное число, тогда, полагая , получим

(2)

Это выражение называют разложение многочлена по степеням. Здесь– числа, зависящие от и , – коэффициенты разложения по степеням.

Подставим в выражение (2) , получим

(3)

Найдем последовательные производные и подставим в ним

Таким образом, многочлен может быть представлен в виде

или

Последняя формула называется формулой Тейлора для многочлена по степеням. Отметим, что правая часть этого выражения фактически не зависит от.

Билет 18

Формула Тейлора для дифференцируемых функций.

Если функция f(x) n раз дифференцируема в точке а, то для нее существует многочлен - это многочлен Тейлораn-го порядка функции f(x) в точке a. Обозначим за - на сколько многочлен отличается от самой функции.называют остаточным членом. Нужно доказать, что для «хороших» функцийбудет достаточно мало. Докажем теорему, которую сформулируем в конце. =))

Рассмотрим функцию f; зафиксируем точку a, в которой будем раскладывать функцию, и произвольную точку x, такую что f(x) n-1 раз дифференцируема на [a,x] и n раз дифференцируема на (a,x). В точке а функция дифференцируема n-1 раз, значит для нее можно составить многочлен Тейлора n-1 порядка.

Представим в виде:, где р – произвольное число,H – некоторая функция, зависящая от x.

Рассмотрим функцию :

Рассмотрим F(u) на [a,x]: F(u) непрерывная на [a,x], дифференцируема на (a,x), F(x)=F(a) по теореме Ролля

; продифференцируем:

- и почти все взаимно уничтожается.

, тогда

; Подставим теперьp:=n;

- это остаточный член в форме Лагранжа. Подставим теперь p:=1

- это остаточный член в форме Коши.

Рассмотрим форму Лагранжа:

Пусть теперь f имеет непрерывную n-ю производную в точке а. Это означает, что на [a,x) функция n раз дифференцируема. Значит f(x) можно представить в виде:

;

, т.к. производная непрерывна. Тогда можно представить в виде:

;

- это формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Таким образом, мы доказали следующую теорему:

Теорема

Если функция n-1 раз дифференцируема на [a,x], n раз на (a,x), то она раскладывается по формуле Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Коши. Если функция f(x) имеет непрерывную n-ю производную в точке а, то в окрестности точки а она раскладывается по формуле Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа, Коши и Пеано.

Теорема (о единственности разложения функции по формуле Тейлора в форме Пеано)

Если , то,- коэффициенты из формулы Тейлора. Т.е. если есть какие-то другие коэффициенты, то они тоже есть коэффициенты из формулы Тейлора:

Доказательство.

Устремим , получим, что, т.к.; тогда

сократив на , получим:

и опять же если.

И так мы можем проделать до n-го коэффициента. Теорема доказана.

Билет 19