- •Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную.
- •Геометрический смысл производной.
- •Арифметические свойства производной.
- •Производная обратной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производные элементарных функций.
- •Билет 7 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Производные высших порядков. Формула Лейбница.
- •Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков.
- •Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Коши. Физический смысл.
- •Теорема о среднем Лагранжа.
- •Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Формула Тейлора для многочленов.
- •Формула Тейлора для дифференцируемых функций.
- •Формула Тейлора для важнейших элементарных функций.
- •Билет 20 Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Непрерывна в и. Тогда, если- нечетное число, то криваяобращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет лиили, а есличетное, тоесть точка перегиба кривой.
- •Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.
- •Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •1) A – конечное.
- •Правило Лопиталя. Случай .
- •Раскрытие неопределенностей вида ,,,,.
- •Асимптота. Уравнение наклонной асимптоты.
- •Первообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.
- •Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование выражений вида.
- •Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
- •Интегрирование тригонометрических выражений.
- •Тригонометрические подстановки.
- •Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.
- •Ограниченность интегрируемой функции.
- •Суммы Дарбу. Их Свойства.
- •Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.
- •Билет 41 Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.
- •Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности.
- •Теорема 2 Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем ().
- •Интегрируемость по Риману непрерывной функции.
- •Интегрируемость по Риману монотонной функции.
- •Аддитивное и однородные свойства определенного интеграла Римана.
- •Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.
- •Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.
- •Билет 48 Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.
- •Определение объёма. Объем тела вращения.
- •Длина дуги кривой. Определение и вычисление.
Производная сложной функции.
Теорема:
Пусть функция такая, что , и функция такая, что , . Тогда функция и .
Доказательство:
дифференцируема в точке , тогда:
Рассмотрим ∆H:
Билет 6
Производные элементарных функций.
1. ;
2.
3.
4.
(т.к. функция непрерывна)
Замечание: если функция имеет конечную производную в точке, то она непрерывна в этой точке (было доказано в Билете 1), но она может быть разрывной в любой другой точке, кроме этой.
Пример:
, т.к.
- не выполняется критерий Коши и в каждой точке функция разрывна.
Билет 7 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
Если функция f имеет производную f΄(xo) в точке xo, то существует предел , где Δf=f(xo+Δx)-f(xo),,или, гдеA=f΄(xo).
Определение:
Функция f дифференциируема в точке xo, если ее приращение представимо в виде:
, где AΔx=df. (*)
Дифференциал — это главная линейная часть приращения функции.
Если существует конечная производная f΄(xo) в точке xo, то функция f(x) дифференцируема в этой точке.
Верно и обратное: если функцияf дифференцируема в точке xo, т.е. ее приращение представимо в виде (*), то она имеет производную в точке xo, равную A:
Геометрический смысл дифференциала:
A и B – точки графика f(x), соответствующие значениям xo и (xo+Δx) независимой переменной. Ординаты точек A и B соответственно равны f(xo) и f(xo+Δx). Приращение функции Δf=f(xo+Δx)-f(xo) в точке xo равно длине отрезка BD и представимо в виде суммы Δf=BD=DC+CB, где DC=tgαΔx=f΄(xo)Δx и α есть угол между касательной в точке A к графику и положительным направлением оси x. Отсюда видно, что DC есть дифференциал функции f в точке xo:
DC=df=f΄(xo)Δx.
При этом на долю второго члена CB приращения Δf приходится величина . Эта величина, при больших Δx, может быть даже больше, чем главный член, но она есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δx, когда Δx→0.
Билет 8
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
Пусть функция имеет производную в точке(конечную): .
Тогда для достаточно малыхможно записать в виде суммыи некоторой функции, которую мы обозначим через, которая стремится к нулю вместе с:,
и приращение в точке может быть записано в виде:
или (1) ,
ведь выражение понимается как функция оттакая, что ее отношение кстремится к нулю вместе с.Пояснение:
Определение.
Функция называется дифференцируемой в точке, если ее приращение можно представить в виде:(2),
где А не зависит от , но вообще зависит от.
Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
Доказательство:
Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной следовала возможность представленияв виде (1), где можно положить.
Необходимость условия. Пусть функция дифференцируема в точке. Тогда из (2), предполагая, получаем.
Предел правой части при существует и равен А:.
Это означает, что существует производная . Теорема доказана.
Билет 9