top-book

Листок 0. Вещественные числа

Листок 0. Вещественные числа

Для этого листка требуется знакомство с понятием поля. Определения и задачи, приведенные ниже, знакомы большинству студентов. Желающие освежить школьную программу или вспомнить основные определения могут посмотреть этот листок и прорешать задачи. В топологии можно обойтись без вещественных чисел, но понятие вещественного числа ключевое в метрической геометрии; большое число примеров топологических пространств строятся на основе вещественных чисел.

0.1. Фундаменальные последовательности.

Обычно вещественные числа приближают рациональными например, раскладывают число a в бесконечную десятичную дробь a0; a1a2 : : : , и рассматривают разные конечные отрезки a0; a1a2 : : : an этой дроби как все более точные приближения a. При этом некоторые дроби объявляются эквивалентными, например, 1; 00000 : : : и 0; 9999 : : : . Оказывается, что строго определять арифметические операции на вещественных числах и доказывать их свойства проще, если рассматривать не конкретно десятичные дроби, а вообще любые последовательности рациональных чисел, приближающие данное вещественное число. При этом снова надо учитывать, что разные последовательности могут быть эквивалентны (приближать одно и то же число). С логической точки зрения, проще всего просто объявить вещественным числом множество приближающих его последовательностей рациональных чисел. На этом основан подход Коши к строгому построению множества вещественных чисел.

Определение 0.1. Будем говорить, что нечто верно для почти всех элементов множества, если оно верно для всех элементов, кроме конечного их числа. Пусть faig = a0; a1; a2; : : : – последовательность рациональных чисел. Говорят, что faig – фундаментальная последовательность, или последовательность Коши, если для любого рационального " > 0 существует отрезок [x; y] длины ", который содержит почти все faig.

Задача 0.1. Пусть a рациональное число. Докажите, что постоянная последовательность a; a; : : : последовательность Коши.

Листок 0. Вещественные числа

Указание. Примените определение последовательности Коши к " = 21n для всех n.

Задача 0.9 (!). Докажите, что если последовательность faig эквивалентна последовательности fbig, а последовательность fbig эквивалентна последовательности fcig, то faig эквивалентна fcig. (Это свойство выражают словами “эквивалентность последовательностей Коши транзитивна”.)

Определение 0.3. Пусть faig, fbig две неэквивалентные последовательности Коши. Говорят, что faig > fbig, если ai > bi для почти всех i.

Задача 0.10. Пусть faig, fbig две неэквивалентные последовательности Коши. Докажите, что или faig < fbig, или fbig < faig.

Указание. Воспользуйтесь задачей 0.8.

Задача 0.11. Пусть faig, fbig две неэквивалентные последовательности Коши, и faig < fbig. Докажите, что существуют два рациональных числа c, d таких, что faig < fcg < fdg < fbig.

Указание. Воспользуйтесь предыдущим указанием.

Задача 0.12. Пусть faig < fbig, а fbig эквивалентно fcig. Докажите, что faig < fcig.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей, и определением последовательности Коши для любого " < jc dj.

Задача 0.13. Пусть faig последовательность Коши, а c 2 Q рациональное число. Докажите, что следующие свойства эквивалентны

а. faig эквивалентна последовательности fcg.

б.В любом открытом отрезке ]x; y[, содержащем c, содержится бесконечно много элементов последовательности faig.

в.В любом открытом отрезке ]x; y[, содержащем c, содержатся почти все элементы последовательнсти faig.

Приложение. Вещественные числа.

Определение 0.4. Если любое из вышеуказанных свойств выполнено, мы говорим, что faig сходится к c.

Задача 0.14. Пусть faig, fbig последовательности Коши. Докажите, что fai + big и fai big последовательности Коши.

Задача 0.15. Пусть faig, fbig последовательности Коши, причем bi сходится к 0. Докажите, что faig эквивалентна fai + big.

Задача 0.16. Пусть faig, fbig последовательности Коши. Докажите, что faibig последовательность Коши.

Задача 0.17. Докажите, что если fbig сходится к 1, то faibig эквивалентна faig.

Задача 0.18. Пусть faig последовательность Коши из ненулевых чисел, которая не сходится к 0. Докажите, что fai 1g – последовательность Коши.

Указание. Докажите, что существует такой не содержащий 0 замкнутый отрезок [x; y], что почти все faig содержатся в [x; y]. Пусть почти все faig содержатся в отрезке I [x; y] длины ". Докажите, что все fai 1g, кроме конечного числа, содержатся в отрезке I 1 длины "(min(jxj; jyj) 1.

Определение 0.5. Классом эквивалентности последовательности Коши faig называется множество всех последовательностей Коши, эквивалентных faig. Множество классов эквивалентностей последовательностей Коши называется множеством действительных чисел и обозначается через R.

Задача 0.19. Докажите, что соответствие c 7!cfg задает инъективное отображение из множества Q всех рациональных чисел в R.

Задача 0.20 (!). Докажите, что четыре арифметических операции, которые мы определили на R в задачах 0.14- 0.18, задают на R структуру поля.

Листок 0. Вещественные числа

0.2. Дедекиндовы сечения.

Главный недостаток определения действительных чисел через фундаментальные последовательности это то, что эквивалентных фундаментальных последовательностей очень много: определение получается очень неявным. Трудность эта скорее психологическая. Тем не менее, есть способ ее преодолеть более наглядное определение вещественных чисел, которое предложил Дедекинд.

Определение 0.6. Пусть R Q подмножество в множестве рациональных чисел, которое непусто и не равно всему Q. Говорят, что Rсечение Дедекинда, если из a 2 R и b < a следует, что b 2 R. Сечение Дедекинда R называется замкнутым, если существует такое рациональное число a, что b 2 R тогда и только тогда, когда b a. В противном случае R называется открытым.

Пусть faig последовательность Коши. Обозначим через Rfaig множество таких рациональных чисел b, что fbg < faig.

Задача 0.21. Докажите, что Rfaig сечение Дедекинда (т.е. если b 2 Rfaig, а c < b, то c 2 Rfaig). Докажите, что это сечение открыто.

Задача 0.22. Пусть faig и fbig эквивалентные последовательности Коши. Докажите, что Rfaig = Rfbig.

Задача 0.23. Пусть faig и fbig неэквивалентные последовательности Коши, и faig < fbig. Докажите, что Rfaig Rfbig, но эти множества не совпадают.

Указание. Рассмотрите точки интервала [c; d] из задачи 0.11; какому из множеств Rfaig, Rfbig они принаделжат?

Задача 0.24 (*). Пусть faig, fbig две последовательности Коши. Докажите, что они эквивалентны тогда и только тогда, когда Rfaig = Rfbig.

Указание. Воспользуйтесь задачей 0.10 (и предыдущими задачами).

Задача 0.25 (*). Пусть R Q открытое сечение Дедекинда. Докажите, что R = Rfaig для какой-то фундаментальной последовательности faig.

Приложение. Вещественные числа.

Указание. Рассмотрите интервал I0 = [a; b] такой, что a лежит в R, а b

– нет. Поделите его пополам, выберите половину I1 с тем же свойством. Повторите процесс, и возьмите в качестве ai любую точку интервала Ii.

Мы видим, что множество классов эквивалентности последовательностей Коши это то же самое, что множество открытых сечений Дедекинда. Поэтому действительные числа можно с тем же успехом определять как сечения Дедекинда. В дальнейшем пользуйтесь тем из определений, которое вам удобнее.

Задача 0.26 (**). Определите арифметические операции на R непосредственно через сечения Дедeкинда, не прибегая к последовательностям Коши. Проверьте аксиомы поля.

Указание. Чтобы определить умножение, определите сначала операции “умножение на положительное действительное число a” и “умножение на 1”, и докажите дистибутивность для каждой из них по отдельности.

0.3. Супремум и инфимум.

Определение 0.7. Пусть A R некоторое подмножество R. Множество A называется ограниченным снизу, если все элементы A больше некоторой константы C 2 R. Множество A называется ограниченным сверху, если все элементы A меньше некоторой константы C 2 R. Множество A называется ограниченным, если оно ограниченно сверху и снизу.

Определение 0.8. Пусть A R некоторое подмножество R. Инфимум A (обозначается inf A) есть такое число c 2 R, что c a для всех a 2 A, и в любом открытом отрезке ]x; y[, содержащем c, содержатся и элементы A. Супремум A (обозначается sup A) есть такое число c 2 R, что c a для всех a 2 A, и в любом открытом отрезке ]x; y[, содержащем c, содержатся и элементы A.

Задача 0.27. Докажите, что inf A и sup A единственны (если существуют).

Листок 0. Вещественные числа

Задача 0.28 (!). Пусть A ограниченное сверху множество. Докажите, что sup A существует.

Указание. Рассмотрим все a 2 A как сечения Дедекинда, т.е. подмножества в Q. Возьмем их объединение R; поскольку все a C, это будет тоже сечение Дедекинда. Докажите, что inf A = R.

Задача 0.29 (!). Пусть A R ограниченное снизу множество. Докажите, что inf A существует.

Замечание. Пусть A R не ограничено снизу (сверху). Тогда пишут inf A = 1 (sup A = 1).

0.4. Корни многочленов нечетной степени.

Задача 0.30 (!). Дан полином нечетной степени над Q, P = t2n+1 + a2nt2n + a2n 1t2n 1 + ::: + a0. Пусть RP множество всех x 2 Q таких, что P (t) < 0 на отрезке ] 1; x]. Докажите, что RP непусто.

P

Указание. Докажите, что RP содержит max(1; jaij).

Задача 0.31 (!). Докажите, что RP не все множество вещественных чисел.

Указание. Докажите, что дополнение QnRP содержит max(1; Pjaij).

Задача 0.32 (!). Докажите, что RP сечение Дедекинда.

Задача 0.33 (!). Докажите, что P удовлетворяет свойству Липшица: для любого отрезка I существует такая константа C > 0, что jP (a)

P (b)j < Cja bj для любых a; b 2 I.

Задача 0.34 (!). Рассмотрим дедекиндово сечение RP как вещественное число. Докажите, что P (RP ) = 0. Тем самым, любой многочлен нечетной степени над R имеет корень.

Указание. Докажите сначала, что P (RP ) 0. Затем докажите, что P (RP ) < 0 противоречит задаче 0.33.

Листок 0. Вещественные числа

предел. Используйте определение вещественных чисел через сечения Дедекинда.

Указание. Докажите, что limi!1 ai = supfaig, и воспользуйтесь существованием супремума.

Определение 0.12. Пусть faig = a0; a1; a2; : : : – последовательность вещественных чисел. Говорят, что faig – последовательность Коши, если для каждого " > 0 существует отрезок [x; y] длины ", который содержит все faig, кроме конечного числа.

Замечание. То же самое определение используется для последовательностей Коши рациональных чисел.

Задача 0.41. Пусть последовательность faig сходится к какому-нибудь вещественному числу c. Докажите, что это последовательность Коши.

Задача 0.42. Пусть у последовательности Коши faig есть подпоследовательность, которая сходится к x 2 R. Докажите, что faig сходится к x.

Задача 0.43. Пусть faig последовательность Коши. Рассмотрим последовательность fbig, bi = infj i aj. Докажите, что этот инфимум определен, и что последовательность bi возрастает.

Задача 0.44. В условиях предыдущей задачи докажите, что если последовательность fbig имеет предел, то limi!1 ai = limi!1 bi.

Задача 0.45 (!). Пусть faig последовательность Коши. Докажите, что faig сходится. Используйте определение вещественных чисел через сечения Дедекинда.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 0.46 (!). Пусть faig последовательность Коши. Докажите, что faig сходится. Используйте определение вещественных чисел через последовательности Коши.

Приложение. Вещественные числа.

Указание. Пусть вещественное число faig представлено последовательностью Коши рациональных чисел ai(0); ai(1); ai(2); :::. Перейдя к подпоследовательности, можно предполагать, что все ai (i > n) содержатся в отрезке длины 2 n, и все ai(j) (j > m) содержатся в отрезке длины 2 m. Докажите, что последовательность fai(i)g последовательность Коши, и к представленному ей вещественному числу сходится последовательность faig.

Задача 0.47 (!). (теорема о двух милиционерах) Пусть faig, fbig, fcig сходящиеся последовательности вещественных чисел, причем ai bi ci для всех i. Предположим, что limi!1 ai = limi!1 ci = x. Докажите, что limi!1 bi = x.

Задача 0.48 (*). Пусть последовательность faig сходится к x. Дока-

жите, что последовательность bj = 1 Pj ai сходится к x. Приведите

j i=0

пример, когда fbjg сходится, а faig не сходится.

0.6. Ряды.

P

Часто пишут проще: ai = x.

P

Определение 0.14. Ряд ai абсолютно сходится, если сходится ряд

P

jaij.

P

ряд bi абсолютно сходится.