top-book

Часть III. Лекции по топологии

Мы получили, что фундаментальная группа произведения двух пространств это произведение фундаментальных групп этих пространств.

Замечание 17.4. Этот факт можно получить, и не пользуясь накрытиями: непрерывное отображение из любого пространства X в M1 M2 – пара отображений из X в M1 и из X в M2. Поэтому то же самое верно для петель и для классов гомотопий петель.

17.2.Категория накрытий и фундаментальная группа

Пусть G группа, а Rep(G; Sets) категория, объекты которой множества с действием G, а морфизмы – отображения множеств, совместимые с действием G. Эта категория называется категорией множеств с действием G.

Предположим, что ~ , где ~ универсальное

G = Aut[M : M] [M : M]

накрытие M. Для каждого множества S с действием G, рассмотрим про-

изведение ~ , где действует по формуле (та-

M

S

G

g

(

m;

s

)

=

(

g

(

m

)

;

g

(

s

))

кое действие называется диагональным). Взяв дискретную топологию

на , можно считать, что ~ топологическое пространство. По-

S M S

накрытие. Для каждой точки m 2 M, множество x 1(m) снабжено биекцией на (G X)=G = X.

~ !

Теорема 17.6: Пусть M M универсальное накрытие, а G его

группа Галуа, ~ . Рассмотрим функтор

G = Aut[M : M]

Rep(G; Sets) ! Cov(M)

из Rep(G; Sets) в категорию Cov(M) накрытий M, построенный выше. Тогда эквивалентность категорий.

Лекция 17: Теорема Зейферта–ван Кампена

Доказательство: Возьмем точку m 2 M. Обратный функтор

Cov(M) ! Rep(G; Sets)

строится весьма просто. Пусть 0 – накрытие , а 0

M ! M M SM :=

1(m) его слой над m. На множестве SM0 задано действие 1(M), следующим образом. Пусть x 2 SM0 – любая точка, а g 2 G элемент фундаментальной группы. Возьмем петлю g 2 (M; m), представляющую g, и пусть ~g ее поднятие в m0, с начальной точкой в x. Такое поднятие существует и единственно, как доказано в предыдущей лекции, и конечная точка ~g(1) однозначно определяется x и g. Таким образом, каждое g 2 G задает отображение из SM0 в SM0 Легко видеть, что произведение двух петель соответствует композиции отображений, значит, x ! ~g(1) задает действие G на SM0. При морфизме накрытий, поднятия путей переходят в поднятия путей, следовательно, M0 ! SM0 задает

функтор Cov(M) ! Rep(G; Sets).

Композиция переводит множество с действием G в то же самое множество, что ясно из определения.

Чтобы убедиться, что композиция переводит накрытие в эквивалентное ему, достаточно проверить это на связных накрытиях. Но

связные накрытия имеют вид ~ 0, для подгрупп 0 (это утвер-

M=G G G

ждение называется "основная теорема теории Галуа для накрытий", и оно доказано в прошлой лекции). Применение функтора к M=G0 дает,

очевидно, множество ~ 0 0 с естественным действием . По

(M=G ) = G=G G

построению,

(проверьте это). Значит, функтор эквивалентен тождественному.

Замечание 17.7. Каждое накрытие изоморфно факторнакрытию несвязной суммы нескольких копий универсального:

G

0 ~

M = M=Gi;

i

в соответствие такому накрытию можно поставить множество

G

S = G=Gi

i

Часть III. Лекции по топологии

с естественным действием G. Это задает эквивалентность категории накрытий и категории множеств с действием G чуть более явно. Докажите самостоятельно, что это та же самая эквивалентность категорий, что была построена выше.

17.3.Как восстановить фундаментальную группу по категории накрытий

Замечание 17.8. Пусть G группа, а C = Rep(G; Sets) категория множеств с действием G. Рассмотрим G как объект C, то есть множество с действием G, определенным формулой (g; x) ! gx. Тогда все морфизмы из G в себя обратимы, и группа Aut(G) = Mor(G; G) изоморфна G. В самом деле, пусть 2 Mor(G; G) переводит 1 в x. Тогда(g1) = g( (x)) = gx. Такой морфизм, очевидно, биективен, а композиция x y равна xy.

Тогда изоморфен как объект C.

G G

Доказательство. Шаг 1: Все объекты C получены объединением непересекающихся орбит действия G. Каждая такая орбита имеет вид G=G0, где G0 стабилизатор точки. Нетривиальные морфизмы из орбиты G=G1 в G=G2 возможны, только если G2 G1 (проверьте это).

вида G=Gi, среди которых хотя бы одна изоморфна G.

Пусть содержит две орбиты 1 2, причем 1 изоморфна

Шаг 3: G X ; X X

. Рассмотрим морфизм из в себя, тождественный на всех орбитах,

G G

кроме X1, и отображающий X1 в X2 = G=G0 (такой морфизм существует в силу Шага 1). Такой морфизм не биективен, значит, он не может быть изоморфизмом.

Лекция 17: Теорема Зейферта–ван Кампена

Мы получили, что состоит из одной орбиты (шаг 3), причем

Шаг 4: G

эта орбита изоморфна (шаг 2). Это доказывает, что изоморфно .

G G G

Замечание 17.10. Из доказанной выше леммы следует, что группа G однозначно восстанавливается по категории Rep(G; Sets): если категории Rep(G1; Sets), Rep(G2; Sets) эквивалентны, то группы G1; G2 изоморфны.

17.4.Свободная группа и свободное произведение групп

Пусть G; H группы. Рассмотрим множество G H, состоящее из последовательностей (слов) вида g1h1g2h2:::gnhn, где gi 2 G, hi 2 H. Рассмотрим соотношение эквивалентности, порожденное

если hi = 1, и

g1h1g2h2:::gihigi+nhi+n:::gnhn g1h1g2h2:::gihihi+ngi+2:::gnhn (17.4.2)

если gi+n = 1. Иными словами, в каждом слове все сочетания вида g11g2 можно заменить на g1g2, а h11h2 на h1h2. Множество классов эквивалентности обозначается G H. Слова можно умножать:

g1h1g2h2:::gnhn g10 h01g20 h02:::gn0 0h0n0 := g1h1g2h2:::gnhng10 h01g20 h02:::gn0 0h0n0:

Такое умножение, очевидно, ассоциативно. Из (17.4.1) и (17.4.2) немедленно следует, что

g1h1g2h2:::gnhnhn 1gn 1:::h2 1g2 1h1 1g1 1 = 1;

значит, G H это группа.

Определение 17.11. Группа G H называется свободным произведением, или же амальгамой, или же копроизведением групп G и H.

Часть III. Лекции по топологии

Задача 17.1. Проверьте, что это произведение ассоциативно:

(F G) H = F (G H):

Замечание 17.12. Аналогичным образом определяется свободное произведение произвольного набора групп fG g, 2 I. Пусть множество

`

G состоит из слов вида g1g2g3:::gn, составленных из букв gi 2 G . Рассмотрим соотношение эквивалентности, порожденное

g1g2:::gigi+1gi+2:::gn g1g2:::gigi+2:::gn

если gi+1 = 1 (можно выкинуть из слова букву gi+1, если gi+1 равно 1), и

g1g2:::gi 1gigi+1gi+2:::gn g1g2:::gi 1(gigi+1)gi+2:::gn

если gi; gi+1 2 G (можно сгруппировать последовательно идущие буквы gi; gi+1 в (gigi+1), если они обе принадлежат одной и той же группе G . Произведение и обратный элемент в

aa

G := G =

определяется той же самой формулой, что и для G H; аналогичный аргумент показывает, что это группа (докажите это). Проверьте, что это определение для двух сомножителей дает G H.

копроизведением набора fG g.

Определение 17.14. Копроизведение Z Z Z ::: Z (n раз) называется

`

свободной группой от n образующих. Копроизведение вида

где все G Z, называется свободной группой.

=

Замечание 17.15. Легко видеть, что естественное отображение любого

`

сомножителя в свободное произведение, G0 ! G , g0 ! g0 является вложением (докажите это).

Часть III. Лекции по топологии

значит, отображение B : Mor(A; B) ! F (B) целиком определяется элементом A(IdA) 2 Mor(A; A). Мы получили следующую полезную лемму

Лемма 17.17: (Лемма Ионеды, Yoneda lemma) Пусть C категория, A 2 Ob(C) ее объект, hA : C ! Sets хом-функтор, а F : C ! Sets еще функтор. Тогда множество естественных преобразований функтора hA в F биективно с F (A).

Функторы F : C ! Sets сами образуют категорию: объекты этой категории функторы F : C ! Sets, а морфизмы естественные преобразования. Из леммы Ионеды немедленно следует, что Mor(hA; hB) = Mor(B; A). Мы получили такое утверждение.

Утверждение 17.18: Пусть C категория, а F категория представимых функторов F : C ! Sets, с морфизмами, которые задаются естественными преобразованиями функторов. Тогда контравариантный функтор A ! hA задает эквивалентность категорий C ! F .

Замечание 17.19. В частности, объект категории, представляющий заданный функтор, определяется этим функтором однозначно с точностью до изоморфизма.

Мы излагали лемму Ионеды и эквивалентность категорий для ковариантных функторов, но то же самое верно и для контравариантных функторов, с заменой ковариантного функтора hA(X) = Mor(A; X) на контравариантный hA(X) = Mor(X; A).

17.6. Лемма Ионеды: история, замечания

Нобуо Ионеда был студентом Шокичи Иянага (Shokichi Iyanaga, 19062006) в университете Токио. В начале 1950-х Самуэль Эйленберг путешествовал по Японии, и Ионеда, еще студентом, сопровождал его в качестве переводчика. Закончив университет, Ионеда отправился продолжать учебу к Эйленбергу в Принстон. В скором времени после этого,