top-book

Лекция 18: Подгруппы в свободных группах

Замечание 18.4. Злоупотребляя обозначениями, мы будем обозначать граф и его топологическое пространство одной и той же буквой.

Определение 18.5. Граф называется связным, если его топологическое пространство связно.

10

Букет четырех окружностей

Определение 18.6. Пусть связный граф, у которого есть всего одна вершина и jIj ребер. Его топологическое пространство называется букетом jIj окружностей. Оно имеет вид ромашки сделанной из нескольких (возможно, бесконечного числа) окружностей.

Чтобы вычислить фундаментальную группу графа, проще всего воспользоваться теоремой Зейферта–ван Кампена. Пусть X букет окружностей, а X1; X2; ::: составляющие его окружности. Пересечение любой пары различных Xi единственная вершина графа, и она, очевидно, односвязна. Получаем, что 1(X) = 1(X1) 1(X2) ::: = Z Z Z :::. Мы доказали такую теорему.

Теорема 18.7: Фундаментальная группа букета окружностей свободна.

Часть III. Лекции по топологии

18.2. Деревья

Определение 18.8. Конечный связный граф называется конечным деревом, если у него n вершин и n 1 ребро.

Дерево с 22 вершинами и 21 ребром

Напомним, что топологическое пространство X называется деформационным ретрактом Y X, если задано непрерывное отображение

j

Y ! X, тождественное на X Y , причем j гомотопно тождественному отображению IdY из Y в себя.

Топологические пространства X и Y называются гомотопически

'

эквивалентными, если заданы непрерывные отображения X ! Y и Y ! X, причем композиции ' и ' гомотопны тождественным.

Нетрудно доказать (см. Лекцию 15), что любое пространство гомотопически эквивалентно своему деформационному ретракту, а фундаментальные группы гомотопически эквивалентных пространств изоморфны.

Определение 18.9. Пусть граф, а 0 граф, множества ребер и вершин которого являются подмножествами в множестве ребер и вершин , причем концы сответствующих ребер в и 0 те же. Тогда 0 называется подграфом .

Замечание 18.10. Пусть 0 подграф графа . Легко видеть, что топологическое пространство 0 – замкнутое подмножество в топологическом пространстве .

Лекция 18: Подгруппы в свободных группах

Определение 18.11. Валентность вершины графа количество ребер, от 1 до 1, которые с ней соединены. Вершина валентности 1 называется висячей, соответствующее ей ребро висячее ребро.

Граф, полученный выкидыванием висячего ребра

Лемма 18.12: Пусть 0 подграф, полученный из выбрасыванием висячего ребра l и одной вершины (см. рисунок). Тогда 0 является деформационным ретрактом .

Доказательство: Пусть s второй (невыкинутый) конец ребра l. Рассмотрим отображение : ! 0 переводящее l в s, и тождественное на0. Очевидно, оно непрерывно. Чтобы убедиться, что это деформационная ретракция, построим гомотопию из в Id . Предположим, что 0 на l соответствует s, а 1 соответствует выкинутой вершине. Пусть t действует тождественно на 0, и переводит 2 [0; 1] = l в t 2 l. Легко видеть, что t непрерывно, 0 = , а 1 = Id . Поэтому 0 деформационный ретракт.

Замечание 18.13. Из этой леммы, мы получили, что любой граф гомотопически эквивалентен своему подграфу, полученному выкидыванием висячего ребра.

Утверждение 18.14: Конечное дерево стягиваемо (т.е. гомотопически эквивалентно точке).

Часть III. Лекции по топологии

Доказательство: Воспользуемся индукцией. Пусть дерево из n + 1 вершин и n ребер. Поскольку валентность каждой вершины 1, а вершин больше, чем ребер, найдется вершина с валентностью 1 (проверьте это). Соответствующее ребро висячее. Обозначим через 0 граф, полученный его выбрасыванием. У этого графа n вершин и n 1 ребро, значит, это дерево. В силу предыдущей леммы, гомотопически эквивалентно 0, а в силу предположения индукции, 0 стягиваемо.

Определение 18.15. Связный граф называется деревом, если любой его конечный, связный подграф является конечным деревом.

Пример 18.16: Пусть граф, вершины которого конечные последовательности натуральных чисел, а ребра соединяют любую последовательность A и An, где An получено из A добавлением n. Докажите, что это дерево.

Утверждение 18.17: Пусть дерево. Тогда односвязно.

Доказательство. Шаг 0: Отметим, что для любых двух точек x; y в, соединенных ребром [x; y], такое ребро единственно. Действительно, иначе в был бы подграф с вершинами x; y и двумя ребрами, соединяющими эти вершины, но такой граф имеет 2 вершины, 2 ребра, и не может быть деревом. Поэтому обозначение [x; y] для соседних вершин x; y однозначно задает ребро.

Шаг 1: Пусть 2 ( ; m) – петля в , а v1; v2; v3; ::: различные вершины графа, которые последовательно обходит . Пусть 0 t1 < t2 < t2 < ::: 1 последовательность чисел таких, что (vi) = ti. Поскольку последовательность ftig монотонна, она сходится к пределу t, но тогда

(lim ti) = (t) = lim vi;

всилу непрерывности . Это возможно, только если последовательность vi конечна.

Шаг 2: Легко видеть, что путь, идущий по дереву из вершины x в вершину y, не заходя ни в какую другую вершину, гомотопен пути, идущему

Лекция 18: Подгруппы в свободных группах

по ребру [x; y]. И в самом деле, пусть x;y граф, состоящий из всех ребер с концом в x и в y. Поскольку это дерево, x;y тоже дерево, и все его ребра, кроме [x; y], висячие. Поэтому [x; y] деформационный ретракт x;y. Взяв композицию с ретракцией, получим путь, идущий по ребру [x; y], и гомотопный .

Шаг 3: Мы получили, что любая петля по гомотопически эквивалентна петле, которая обходит вершины v1; v2; v3; :::; vn по ребрам [v1; v2], [v2; v3], ... Значит, любая петля гомотопна петле, которая обходит конечный подграф . Но конечные, связные подграфы стягиваемы, значит, все такие петли тоже стягиваемы.

18.3. Унициклические графы

Определение 18.18. Конечный, связный граф называется унициклическим, если у него n вершин и n ребер.

Замечание 18.19. Пусть связный граф без висячих вершин, имеющий n ребер и m вершин. Поскольку каждое ребро соединяет две вершины, и к каждой вершине присоединяются как минимум два ребра, имеем n m, причем равенство имеет место, только если все вершины имеют валентность 2.

Мы получили следующую лемму

Лемма 18.20: Пусть конечный унициклический граф без висячих вершин. Тогда все вершины двухвалентные. Более того, гомеоморфен окружности.

Доказательство: Воспользуемся индукцией. Пусть унициклический граф без висячих вершин, а s его вершина, к которой примыкают ребра [x; s] и [s; y]. Легко видеть, что гомеоморфен графу, полученному из выкидыванием вершины s и заменой ребер [x; s] и [s; y] на [x; y] (см. картинку).

Воспользовавшись индукцией, получим, что гомеоморфен унициклическому графу с одной вершиной и одним ребром, то есть окружности.

Часть III. Лекции по топологии

Унициклический граф без висячих ребер из n ребер, n вершин гомеоморфен унициклическому графу из n 1 ребер, n 1 вершин

Следствие 18.21: Пусть конечный унициклический граф. Тогда гомотопически эквивалентентен окружности.

Доказательство: Пусть 0 получен из выкидыванием висячего ребра. Тогда 0 является деформационным ретрактом , значит, гомотопически эквивалентен . Будем выкидывать висячие ребра, пока они не кончатся, получим унициклический граф, гомеоморфный окружности.

Замечание 18.22. Аналогичный аргумент доказывает, что связный граф, у которого n вершин и n + k ребер, гомотопически эквивалентен букету k + 1 окружностей.

Утверждение 18.23: Пусть 1 дерево, полученное из графа выкидыванием одного ребра. Предположим, что не дерево. Тогда 1( ) =

Z.

Доказательство: Поскольку не дерево, в содержится конечный подграф 1, у которого n вершин и n + k ребер, k 0. Поскольку выкидывание одного ребра l превращает 1 в дерево, k = 0, и граф 1унициклический. Пусть nl, 1nl графы, полученные из , 1 выкидыванием l. Тогда получен объединением 1 и nl, причем их пересечение 1nl является деревом, следовательно, односвязно. Применив теорему Зейферта–ван Кампена, получим, что 1( ) = 1(1) 1(nl). Поскольку nl дерево, оно односвязно, значит, 1( ) = 1(1) = Z.

Определение 18.24. Будем называть связный граф унициклическим, если 1( ) = Z.

Лекция 18: Подгруппы в свободных группах

18.4. Фундаментальная группа графа

Определение 18.25. Пусть связный граф. Остовом называют максимальный подграф 0 , который является деревом.

Замечание 18.26. Слово максимальный в этом определении надо понимать так: при добавлении любого ребра из n 0 к 0, он перестает быть деревом. Применив лемму Цорна, легко убедиться, что у каждого графа есть остов (проверьте это).

Теорема 18.27: Пусть связный граф. Тогда группа 1( ) свободна.

Доказательство. Шаг 1: Пусть 0 остов , полученный из

выкидыванием ребер l , проиндексированными индексами 2 I, а l

объединение 0 и l . В силу Утверждения 18.23, 1(l ) = Z.

Шаг 2: = S 2I l , причем пересечение l \ l 0 для любых 6= 0 равно 0, следовательно, односвязно. Применяя теорему Зейферта–ван Кампена, получаем

Замечание 18.28. Поскольку конечный граф гомотопически эквивалентен букету сфер, свободность 1( ) для конечного графа немедленно следует из подсчета фундаментальной группы букера сфер, проведенного выше.

Из приведенного выше подсчета фундаментальной группы графа вытекает следующая важная теорема.

Теорема 18.29: (теорема Нильсена-Шрайера, "Nielsen-Schreier theorem") Пусть F свободная группа, а G F ее подгруппа. Тогда G свободна.

Доказательство: Группу F можно получить как фундаментальную

группу пространства , гомеоморфного букету окружностей. Пусть ~

M M

– универсальное накрытие M, снабженное естественным действием F , а

Часть III. Лекции по топологии

G ~ его фактор по . Легко видеть, что G это граф (проверь-

M = M=G G M

те это). Поскольку ~ ! G универсальное накрытие, 1 G .

G

=

)

M

(

M

M

Значит G фундаментальная группа графа, а такая группа свободна по предыдущей теореме.

Часть IV

Приложение. Вещественные числа

359