top-book

Лекция 16: Накрытия Галуа

16.7. Накрытия Галуа и группа Галуа

ку морфизма . Из соображений симметрии, график проектируется

изоморфно на оба сомножителя ~ , значит, это изоморфизм.

M

Из этого замечания сразу вытекает следующее полезное утверждение.

~

Утверждение 16.51: Пусть M ! M связное накрытие. Тогда следующие утверждения равносильны.

~ накрытие Галуа

(i) [M : M]

2~

(ii)для любых точек x; y M, таких, что (x) = (y), существует авто-

морфизм ~ , переводящий в .

M x y

Определение 16.52. Пусть G группа, действующая на множестве M. Действие группы называется свободным, если для любого неединичного g 2 G и любого m 2 M, имеем gm 6= m. Действие группы называется транзитивным, если M состоит из одной орбиты.

мент, сохраняющий x 2 M. Тогда график g пересекается с графиком тождественного отображения Id. Но поскольку график автоморфизма

~ ~

является связной компонентой M M M, они совпадают:

g = Id:

Лекция 16: Накрытия Галуа

Утверждение 16.59: Пусть M1 ! M2 ! M3 накрытия, причем

M1 M3 M1 =M1 M2 (M2 M3 2) M2 1

!

GG

а 0 любая подгруппа. Тогда ~ 0 накрытие . Более того,

G G M=G M

любое факторнакрытие ~ получается таким образом.

[M : M]

~ 0 ~

Доказательство: Пусть [M : M] факторнакрытие [M : M]. Тогда

~ ! ~ 0 ! последовательность накрытий, причем ~ на-

]

M

:

M

[

M

M

M

крытие Галуа, значит, ~ ~ 0 тоже накрытие Галуа (Утверждение

[M : M ]

16.58). Поэтому ~ 0 ~ 0, где 0 группа автоморфизмов ~ над ~ 0.

M = M=G G M M

Поскольку каждый такой автоморфизм является автоморфизмом ~ над

M

, 0 подгруппа ~ . Мы получили взаимно-однозначное со-

M G Aut[M : M]

ответствие между факторнакрытиями и подгруппами группы Галуа.

Часть III. Лекции по топологии

16.9. Универсальное накрытие

~

Определение 16.63. Пусть [M : M] связное накрытие. Оно называ-

~

ется этальным универсальным накрытием, если M этально односвязно.

Замечание 16.64. Универсальное накрытие является накрытием Га-

Замечание 16.65. Универсальное накрытие единственно с точностью

до изоморфизма. Действительно, пусть ~ , ~ 0 два универсальных на-

M M

крытия. Поскольку ~ и ~ 0 этально односвязны, любая связная компо-

M M

нента их произведения ~ M ~ 0 расщепляется над ~ и над ~ 0, значит,

M M M M

является графиком изоморфизма.

Определение 16.66. Локально связное топологическое пространство M называется локально этально односвязным, если у каждой точки есть связная, этально односвязная окрестность.

Определение 16.67. Пусть fM ! Mg набор накрытий локально этально односвязного пространство M. Если все эти накрытия расщеп-

Замечание 16.68. Отметим, что произведение накрытий не является расслоенным произведением в смысле Тихонова. В самом деле, произведение конечных накрытий компактов не обязательно конечно, значит, может не быть компактом (приведите пример, когда произведение компактных накрытий некомпактно).

В доказательстве существования универсального накрытия нам понадобится следующая лемма

накрытие накрытия Галуа.

Часть III. Лекции по топологии

изоморфизма накрытий Галуа ограничена мощностью множества всех топологий на S M, эта мощность не больше 22jj N 2jMj (проверьте это). А коль скоро эта мощность ограничена, классы изоморфизма накрытий Галуа M образуют множество.

Теорема 16.70: Пусть M связное, локально этально односвязное то-

Q

пологическое пространство, а MG – связная компонента в M M , где M пробегает все классы изоморфизма накрытий Галуа M. Тогда MG универсальное накрытие M.

Доказательство. Шаг 1: Пусть [M1 : M] накрытие Галуа, а MG0 – произведение накрытий Галуа M по всем классам изоморфизма накрытий, кроме M1. Тогда

Y

M M M1 = MG0 M M1 M M1:

M

Поскольку M1 M M1 несвязная сумма нескольких копий M1,

Y

M M M1

M

Q

несвязная сумма нескольких копий M M . Следовательно,

Y

M M M1

тоже расщепляется. Для любого накрытия [M1 : MG], произведение MG MG M1 является поднакрытием (образом вложения накрытий) в MG M M1:

MG MG M1 ,! MG M M1;

значит, оно тоже расщепляется. Поэтому любое накрытие Галуа M1 расщепляется над MG.

Шаг 2: Пусть M2 любое накрытие MG (не обязательно накрытие Галуа). В силу предудущей леммы, M2 является факторнакрытием накрытия Галуа [M1 : MG], которое расщепляется. Поэтому M2 тоже расщепляется (докажите).

Лекция 16: Накрытия Галуа

16.10. Этальная фундаментальная группа

Пусть локально линейно связно, ~ универсальное накры-

M M ! M

тие, а x 2 M. Для каждого пути 2 (M; x), рассмотрим поднятие ~

в ~ . Поскольку ~ действует транзитивно на 1 , группа

M Aut[M : M] (x)

~ действует транзитивно на множестве поднятий . Рассмот-

Aut[M : M]

2 ~

рим элемент g Aut[M : M], который переводит ~(0) в ~(1). Посколь-

ку действие ~ транзитивно на множестве поднятий пути ,

Aut[M : M]

элемент g не зависит от выбора поднятия. Мы построили отображение

! ~

1(M; x) Aut[M : M].

Пусть ; 0 22 (M; x) – пути, а ~, ~0 их поднятия, причем ~ соединяет y1 и y2, а ~0 соединяет y2 и y3. Очевидно, 0 поднимается до пути, который соединяет y1 и y3. Поэтому построенное отображение

гомотопии пути 2 (M; x) однозначно задается вторым концом y2 под-

нятия , если 1. Поскольку ~ действует свободно и

~ ~(0) = y Aut[M : M]

1 ! ~

транзитивно на (x), в такой ситуации 1(M; x) Aut[M : M] биекция.

~

Определение 16.71. Пусть M ! M универсальное накрытие.

~

Группа Галуа Aut[M : M] называется этальной фундаментальной группой пространства M.

~ f g

Замечание 16.72. В условиях Утверждения 16.37, 1(M; y1) = 1 , и

группа ~ равна 1 . В этой ситуации этальная фундамен-

Aut[M : M] (M; x)

тальная группа равна обычной.

В силу основной теоремы теории Галуа, накрытия [M1 : M] однозначно соответствуют подгруппам этальной фундаментальной группы.

Задача 16.5. Убедитесь, что накрытие [M1 : M] является накрытием Галуа тогда и только тогда, когда соответствующая ему подгруппа

~

Aut[M : M] нормальна.

16.11. История, замечания

Фундаментальная группа впервые появилась в диссертации Римана в 1851 году. Риман интересовался продолжением голоморфных (комплекс-

Часть III. Лекции по топологии

но дифференцируемых) функций в комплексной области. Риман обнаружил, что голоморфная функция однозначно продолжается вдоль любого пути, который не пересекается с множеством ее полюсов, но это продолжение может зависеть от выбора пути. Заменив комплексную область на ее накрытие, можно добиться того, чтобы продолжение функции было однозначно. Таким образом в математике появились римановы поверхности (многообразия вещественной размерности 2), накрытия и фундаментальная группа.

Georg Friedrich Bernhard Riemann

(1826 1866)

Начиная с 1860-х годов, топологию римановых поверхностей немало изучали Жордан, Мебиус и многие другие математики. Фундаментальная группа была определена (как множество, и довольно неформально) Жорданом, а Пуанкаре в 1895-м году определил ее строго, и одновременно обнаружил, что это группа.

Связь фундаментальной группы с накрытиями прослеживалась со

Лекция 16: Накрытия Галуа

времен Римана, но идея определить фундаментальную группу в терминах накрытий принадлежит Гротендику, который придумал, как строить топологические инварианты в алгебраической ситуации.

Совместно с Мишелем Рено, Гротендик в 1961-м году опубликовал исследование "Revˆetements ´etales et groupe fondamental" (SGA1), первое в серии SGA (S´eminaire de g´eom´etrie alg´ebrique), где исследовал фундаментальную группу алгебраических объектов в терминах накрытий. Оказалось, что если воспользоваться подходящим понятием накрытия, можно определить этальную фундаментальную группу у огромного числа объектов алгебры и геометрии. Интересно, что в теории, развитой Гротендиком, частным случаем фундаментальной группы является группа Галуа алгебраического замыкания поля.

Alexander Grothendieck

(род. 28 марта 1928)

Простейшая ситуация, когда этот подход к фундаментальной группе

Часть III. Лекции по топологии

применим на практике, таков. Рассмотрим пространство Cnfx1; :::xng (C без конечного набора точек). Пусть B A конечные подмножества C. Легко видеть, что естественное отображение

1(CnA) ! 1(CnB)

– наложение (докажите это). Рассмотрим предел 1(CnA) по увеличивающимся конечным подмножествам A C. Получится группа, изоморфная группе Галуа алгебраического замыкания C(t). Доказать это нетрудно, если интерпретировать (вслед за Риманом) алгебраические расширения поля рациональных функций как накрытия Cnfx1; :::xng.

В аннотации к SGA1 говорится "этот текст излагает теорию фундаментальных групп в алгебраической геометрии с точки зрения Кронекера, позволяя определить фундаментальную группу одинаковым способом для алгебраического многообразия (в обычном смысле слова) и, например, для кольца целых чисел в числовом поле." Что именно имел в виду Гротендик, когда упоминал "теорию фундаментальных групп с точки зрения Кронекера", в SGA1 не уточняется.

Первые два тома SGA были перенабраны в LATEXе Французским Математическим Обществом и положены в arxiv.org:

http://arxiv.org/abs/math/0206203 (SGA1) и http://arxiv.org/abs/math/0511279 (SGA2).

Более современное изложение теории этальных накрытий, этальных когомологий и этальной фундаментальной группы есть в книжке Милна "Этальные когомологии", но эта книжка требует хорошего знания алгебраической геометрии.

Чрезвычайно доступно изложено все то же самое в книге В. И. Данилова "Когомологии алгебраических многообразий. "Итоги" ВИНИТИ, СПМ, фунд. напр., т. 35.