top-book

Лекция 16: Накрытия Галуа

виальных накрытий . Тогда ~ , и ~ 0 0, где , 0

M M = M S M = M S S S

~~ 0 ~

множество связных компонент M, M . Образ связной компоненты M

связен, следовательно, лежит целиком в связной компоненте ~ 0. Пусть

M

S : S ! S0 – отображение, индуцированное на связных компонентах. Тогда

(m; s) = (m; S(s))

(проверьте).

Определение 16.22. Пусть M топологическое пространство. M называется локально связным, если у M есть база связных окрестностей, и локально линейно связным, если у M есть база линейно связных окрестностей.

Замечание 16.23. Отметим, что из связности не следует локальная связность, а из линейной связности не следует локальная линейная связность. С другой стороны, локально линейно связное связное пространство линейно связно (см. доказательство Леммы 16.26 ниже).

Доказательство: Это утверждение локально по M, значит, можно пред-

положить, что связно, а накрытия ~ и ~ 0 расщепляются. В силу

M M M

Часть III. Лекции по топологии

16.3. Односвязные пространства

Определение 16.25. Связное топологическое пространство M называется этально односвязным, если любое накрытие M расщепляется.

Впоследствии нам понадобится следующая простая лемма.

кально линейно связно. Объединение всех линейно связных множеств,

связности M. Это задает разбиение M в компоненты линейной связно-

сти, которые открыты. А поскольку ~ связно, такая компонента всего

M

одна.

Теорема 16.27: Любое выпуклое, замкнутое подмножество в Rn этально односвязно.

Доказательство. Шаг 1: Пусть M выпуклое, замкнутое подмноже-

своих компонент связности. Для доказательства этальной односвязности M достаточно убедиться, что каждая из этих компонент связности

является тривиальным накрытием . Поэтому можно считать, что ~

M M

его образа := в M. Если две точки (t); (t + ") содержатся в

окрестности ~ , которая гомеоморфно проектируется на выпуклое

M

U

Лекция 16: Накрытия Галуа

подмножество U M, можно заменить участок ( (t); (t + ")) пути на прообраз отрезка, соединяющего точки ( (t)); ( (t + ")). По определению накрытия, покрывается такими открытыми множествами целиком (проверьте это). Поскольку ([a; b]) компактен, его можно покрыть конечным набором таких открытых множеств. Заменив каждый сегмент ( (t); (t + ")) на прямолинейный, как указано выше, мы получим путь, который проектируется в ломаную : [a; b] ! M. Следовательно, любые две точки можно соединить путем конечной длины. Определим

метрику на ~ по формуле

M

~

d(x; y) = inf l( );

где инфимум берется по всем путям, соединяющим x и y. Легко видеть,

что эта формула задает на ~ метрику (докажите).

M

небольшой окрестностью точки 2 ~ будет связная компонента прооб- x M

раза 1 , где 3 – окрестность . Следовательно, ~ согласо-

(U) U (x) (x) d

вана с исходной топологией на ~ .

M

Докажем, что ~ с такой метрикой полно. Легко видеть, что

Шаг 5: M

~ (докажите). Поэтому для любой последовательно- d(x; y) d( (x); (y))

сти Коши f ig в ~ , ее образ f i g – последовательность Коши. По- x M (x )

скольку M полно, f (xi)g сходится к точке x 2 M. Поэтому почти все члены последовательности fxig содержатся в 1(U), для любой окрестности U 3 x. Без ограничения общности, можно считать, что U выбрано

обраниченным, следовательно, замыкание компактно. Выбрав до-

U U

статочно малым, можно считать, что 1 объединение непересе-

(U)

кающихся компактов (компонент связности 1 ), гомеоморфных .

(U) U

Эти компоненты связности отстоят друг от друга на положительное расстояние, а значит, почти все элементы последовательности Коши fxig содержатся в одной из связных компонент (докажите). Обозначим эту связную компоненту за U0. По построению, U0 изометрически проекти-

руется на . Следовательно, f ig сходится к 1 \ 0. Полнота ~

U x (x) U M

доказана.

По построению, метрика в ~ является внутренней (вычисля-

Шаг 6: M

ется как длина путей), а значит, удовлетворяет условию Хопфа-Ринова.

Часть III. Лекции по топологии

Также это пространство полно (шаг 5) и локально компактно (оно ло-

ектируется гомеоморфно в (U). Заменив U на окрестность поменьше, можно считать, что (U) выпукло (докажите это). Для любой y 2 U,

~

имеем d(x; y) = d( (x); (y)), потому что можно соединить (x); (y) от-

резком, а потом поднять этот отрезок в ~ , воспользовавшись тем, что

M

! – гомеоморфизм. Поэтому геодезические в ~ проектируют-

U (U) M

ся в отрезки прямой. Следовательно, ~ ~ ! изометрия.

)

d

M;

(

)

d

;

M

(

:

Мы доказали, что это гомеоморфизм.

Следствие 16.28: Отрезок, квадрат, шар этально односвязны.

16.4. Поднятие накрытия

~

Определение 16.29. Пусть M ! M накрытие, а X ! M

~

! ~

непрерывное отображение. Отображение X M называется поднятием , если следующая диаграмма коммутативна

~

M

>

~

X/M

жение. Пусть X расслоенное произведение X и M над M. Обозна-

Лекция 16: Накрытия Галуа

дуцированным накрытием X.

Следующая теорема важная, но простая. Ее доказательство вполне очевидно из иллюстрации, приведенной ниже.

Поднятие отображения X ! M на накрытие

~

Теорема 16.33: Пусть M ! M накрытие, а X ! M непрерывное отображение. Предположим, что X этально односвязно. Тогда суще-

Часть III. Лекции по топологии

нент связности X X, естественная проекция X ! M задает поднятие

~! ~

:X M. Каждое из таких поднятий единственным образом опре-

деляется выбором компоненты связности, но эти компоненты параметризованы точками прообраза 1( (x)): каждая из компонент содержит

ровно одну из точек этого множества.

16.5. Накрытия и пути

Замечание 16.34. Пусть (M; m) пространство с отмеченной точкой,

~ – его накрытие, а 2 петля. Поскольку отрезок одно-

(M; m~ ) (M; m)

связен, отображение : [0; 1] ! M поднимается единственным образом

! ~

до пути ~ : [0; 1] M, причем ~(0) = m~ . Такой путь называется поднятием петли на накрытие. Понятно, что ~ – уже не петля: точка~(0) может быть не равна ~(1).

Утверждение 16.35: Пусть (M; m) пунктированное пространство,

~ !

(M; m~ ) (M; m)

– его накрытие, ; 0 2 (M; m) – гомотопные петли, а ~, ~0 – их поднятия. Тогда ~(1) = ~0(1).

Доказательство: Пусть h : [0; 1] [0; 1] ! M – отображение из квадрата, которое осуществляет гомотопию и 0. По определению, h переводит две противоположные стороны квадрата в и 0, а две другие в m.

таким образом, что (0; 0) переходит в m~ . На двух сторонах квадрата h постоянное, но поднятие тривиального пути, очевидно, тривиально. По-

этому на этих двух сторонах ~ тоже постоянное. Значит, h

~ ~ 0~(1) = h(1; 0) = h(1; 1) = ~ (1):

Часть III. Лекции по топологии

путь из m в x. Обозначим через U множество всех пар (y; 0 21(m; y)), где y 2 U, и существует путь из y в x, целиком лежащий в U и такой, что 0 1 гомотопно нулю (тривиальному пути). Поскольку все пути из x в y, лежащие в U, гомотопны, естественная проекция из U в U гомеоморфизм (проверьте это).

которой задана множествами вида U . Легко видеть, что пересечение таких множеств имеет такой же вид, и поэтому U задает топологию на

~ ~ !

M. Естественная проекция M M этальна по построению, а поскольку1(U) объединение U для всех гомотопических классов путей из m в x 2 U, это накрытие.

Наконец, пусть 2 1(M; m) класс, негомотопный нулю, пусть ~

его поднятие в ~ , такое, что соответствует паре 0 , где m

M (0) (m; )

тривиальный путь. Тогда (1) соответствует паре (m; ), значит, накры-

тие ~ ! нетривиально.

M

M

Мы получили следующее утверждение

Утверждение 16.37: Пусть (M; m) пунктированное пространство, которое связно и локально линейно связно. Предположим, что у M есть база топологии, состоящая из множеств U с 1(U) = f1g, и M этально односвязно. Тогда 1(M; m) = f1g.

Замечание 16.38. Исторически, односвязность M означает 1(M; m) = f1g. В большинстве книг по топологии односвязность определяют именно так. В предположениях Утверждения 16.37, 1(M; m) = f1g тогда и только тогда, когда любое накрытие M расщепляется, значит, в этой ситуации этальная односвязность равносильна обычной.

6 f g ~

Замечание 16.39. Пусть 1(M; m) = 1 . Накрытие M, которое строится в доказательстве Утверждения 16.37, можно построить явно, используя топологию на пространстве путей, которую мы определили в

Лекции 11. Пусть ~ пространство всех путей с начальной точ-

(M; m)

кой m. Предположим, что у каждого пути 2 (M; m), ведущего из m

в , есть окрестность в топологии на ~ такая, что все ее точки x (M; m)

гомотопны в классе путей из m в x. В предположениях 16.37 это верно (докажите). Обозначим 0, если ; 0 гомотопные пути из m в

Лекция 16: Накрытия Галуа

нию эквивалентности. Естественная проекция ~ ! , переводящая

M

M

в , является накрытием, и эквивалентна накрытию ~ , построен- x = (1) M

ному выше (проверьте). Мы не будем пользоваться этим наблюдением.

16.6. Произведение накрытий

смотрим расслоенное произведение ~ M ~ 0 ~ ~ 0, состоящее из

M

M

M

M

всех 2 ~ ~ 0, таких, что 0 . Тогда ~ M ~ 0 называется

(x; y) M M (x) = (y) M M

произведением накрытий.

~ ~ 0

Замечание 16.41. Произведение M M M является накрытием M. В

Определение 16.43. Пусть ' : M1 ! M2 морфизм накрытий M. Рассмотрим подмножество ' M1 M M2, состоящее из всех пар вида (x; '(x)). Это подмножество называется графиком морфизма M.

Замечание 16.44. Проекция графика ' на M1 гомеоморфизм (докажите это). Поэтому ' накрытие M. Поскольку локально по M график ' объединение нескольких копий M, он открытозамкнут в

M1 M M2.

Пусть ~ ! накрытие. Чтоб подчеркнуть аналогию с теорией

M M

Галуа, мы будем обозначать его как ~ .

[M : M]

~

Определение 16.45. Пусть [M : M] накрытие. Оно называется связ-

, если и ~ связны и локально связны.

ным M M

~

Утверждение 16.46: Пусть [M : M] накрытие, причем M связно

и локально связно. Тогда ~ является несвязным объединением своих

M

компонент связности ~i. Более того, каждая из компонент ~i является

M M

связным накрытием M.

Часть III. Лекции по топологии

~

Доказательство: Поскольку M локально связно, а M локально гомеоморфно M, оно тоже локально связно. Поэтому любая связная компо-

нента ~ открыта (докажите это). Значит, ~ несвязное объединение

M M

своих компонент связности. Пусть теперь U M связное открытое

подмножество, над которым ~ расщепляется. Тогда 1 несвязное

M (U)

объединение нескольких копий U. Каждая из этих копий целиком ле-

жит в одной из связных компонент ~i, следовательно, ~i \ 1 тоже

M M (U)

несвязное объединение копий . Поэтому ~i накрытие.

U M

любого морфизма ' 2 Mor(M; M) связная компонента в M M M.

Связная компонента ~ 0 ~ M ~ является графиком морфизма 2

'

M

M

M

M ~ ~ тогда и только тогда, когда проекция ~ 0 на первую компоor(M; M) M

ненту задает изоморфизм ~ 0 ! ~ .

M M

~ 0 ~ ~

Доказательство: Если M график, он открытозамкнут в M M M

(это локальное утверждение, а локально ~ 0 объединение нескольких

M

~ ~

компонент M M M). Поэтому он является связной компонентой. Обратное тоже верно, потому что любая связная компонента является

накрытием, а если ~ 0 гомеоморфно проектируется на ~ , проекция на

M M

построению, ~ 0 является графиком этого морфизма.

M

ответствуют компонентам M M M, которые изоморфно проектируются

на ~ , но в силу предыдущего следствия это то же самое, что морфизмы

M

из ~ в себя.

M