top-book

Лекция 17: Теорема Зейферта–ван Кампена

Nobuo Yoneda

(1930-1996)

Эйленберг уехал в Париж (Эйленберг был участником группы Бурбаки), и в 1954-м году Ионеда поехал в Париж к Эйленбергу. В Париже Ионеда имел длинную беседу с Сондерсом Маклейном (сначала в кафе перед Гар дю Нор, а потом на вокзале; они закончили разговаривать в дверях отбывающего поезда). Под впечатлением этой беседы, Маклейн назвал лемму, которую он узнал от Ионеды на вокзале, леммой Ионеды.

Кроме знаменитой леммы, Ионеда придумал интерпретацию групп Ext в терминах расширений модулей, чем положил начало современной гомологической алгебре.

После возвращения в Японию Ионеда не занимался математикой. В начале 1960-х он заинтересовался компьютерными науками, под влянием Шокичи Иянага, и был одним из авторов языка Алгол 68, а после создания факультета компьютерных наук стал профессором компьютерной науки в университете Токио.

Часть III. Лекции по топологии

Интересно, что лемма Ионеды сейчас входит в стандартный курс компьютерных наук, ибо на теории категорий в значительной степени построена теоретическая основа функционального программирования.

Помимо Ионеды, Иянага был наставником Горо Азумая (изобретателя алгебр Азумаи), Кунихико Кодаира (открывшего сотни ключевых теорем алгебраической и комплексной геометрии), Кенкичи Ивасава (знаменитого автора разложения Ивасавы и важных теорем теории чисел) и Тсунео Тамагава, прославленного "числами Тамагавы".

Иянага был учеником Тейджи Такаги (1875-1960), который был студентом Давида Гильберта. Такаги был автором десятков учебников, обеспечив Японию университетскими учебниками по всем разделам математики. Такаги занимался теорией чисел, и в 1898 году придумал аксиоматическое определение поля.

17.7.Произведение и копроизведение в категории

Свободную группу можно охарактеризовать следующим свойством.

Утверждение 17.20: Пусть G, H группы, G H их свободное про-

изведение, а G ,! G H, H ,! G H естественные вложения. Тогда

'

каждая пара гомоморфизмов G ! P , H ! P в группу P продол-

'

жается до гомоморфизма G H ! P таким образом, что следующая диаграмма коммутативна:

G H

$z

'G H

'

P

Более того, гомоморфизм ' определяется отображениями и однозначно.

Лекция 17: Теорема Зейферта–ван Кампена

Доказательство: Пусть ' переводит слово вида g1h1g2h2:::gnhn в '(g1) (h1)'(g2) (h2):::'(gn) (hn). Поскольку это отображение переводит эквивалентные слова в эквивалентные, и произведение слов в произведение, оно является гомоморфизмом. Единственность такого ' очевидна, потому что группа G H порождена образами G и H.

Замечание 17.21. Утверждение 17.20 называется универсальным свойством копроизведения. Его можно взять в качестве определения G H. Действительно, в силу универсального свойства, G H является представляющим объектом для функтора P ! Mor(G; P ) Mor(H; P ) из групп в множества, а такой объект единственный (Замечание 17.19).

Замечание 17.22. Произведение и копроизведение можно определить на языке категорий: произведение объектов A; B 2 Ob(C) объект, представляющий функтор

X! Mor(X; A) Mor(X; B);

акопроизведение объектов A; B 2 Ob(C) – объект, представляющий функтор

X ! Mor(A; X) Mor(B; X):

Аналогичным образом определяется произведение и копроизведение любого набора объектов. Произведение и копроизведение не всегда существует, но определено однозначно с точностью до изоморфизма, что следует из леммы Ионеды (Замечание 17.19).

Замечание 17.23. В большинстве известных категорий (группы, множества, топологические пространства, векторные пространства), определение произведения согласовано с категорным определением, приведенным выше (проверьте это).

Замечание 17.24. В категории топологических пространств, копроизведение это несвязная сумма; в категории множеств, копроизведение

– несвязное объединение, а в категории векторных пространств, копроизведение – это прямая сумма пространств. Проверьте это.

Часть III. Лекции по топологии

17.8.История свободной группы и копроизведений

Свободную группу открыл немецкий математик Вальтер фон Дайк, ученик Клейна. Фон Дайк в 1882-м году первым дал современное определение группы и был автором топологической классификации неориентируемых римановых поверхностей (двумерных многообразий), которую он получил в 1888 году.

Walther Franz Anton von Dyck (1856-1934)

Фон Дайка интересовали фуксовы группы (дискретные подгруппы группы изометрий плоскости Лобачевского). В той же самой работе 1882го года, в которой он определил группы, фон Дайк обратил внимание на то, что некоторые фуксовы группы являются в некотором смысле простейшими; это и были свободные группы. Еще фон Дайк был создателем Немецкого Музея Науки и Технологии и издал полное собрание писем Кеплера.

Часть III. Лекции по топологии

зом, теорема Зейферта–ван Кампена будет доказана, если мы докажем, что категория Cov(M) накрытий M эквивалентна C.

\ , прообраз 1 ~ наделен действием 1 (Теорема 17.6).

)

X

(

X

)

m

(

Y

X

силу эквивалентности категории накрытий и категории множеств с действием фундаментальной группы (Теорема 17.6). Поскольку X \Y связно, локально связно и односвязно,

естественная проекция ~ ! накрытие (проверьте это). Дей-

: M M

ствительно, проекция этальна, потому что M получается как фактор X FY по отношению эквивалентности1

m m0 , m 2 X; m0 2 Y; m = m0 в X \ Y ,

а прообраз 1(U) по построению гомеоморфен U S, если X , Y расщепляется над U \ X, U \ Y .

Мы построили функтор из C в Cov(M). Легко видеть, что этот функтор обратен (проверьте это). Поэтому это эквивалентность категорий.

1Для доказательства этого используйте замкнутость X и Y в M.

Лекция 17: Теорема Зейферта–ван Кампена

Мы доказали, что категория Cov(M) накрытий M эквивалентна категории C множеств с действием 1(X) и 1(Y ). На шаге 1 было доказано, что C эквивалентна категории Rep( 1(X) 1(Y ); Sets). В силу Теоремы 17.6, Cov(M) эквивалентна Rep( 1(M); Sets). Используя Замечание 17.10, мы выводим из эквивалентности категорий

Rep( 1(X) 1(Y ); Sets) Rep( 1(M); Sets)

изоморфизм групп

го набора Mi это можно получить индукцией из теоремы Зейферта–ван Кампена, пользуясь ассоциативностью копроизведения. Для бесконечного набора, индуктивный аргумент не годится. Впрочем, легко видеть, что доказательство, приведенное выше, работает для любого числа Mi, ценой неимоверного усложнения обозначений. Проверьте это самостоятельно.

17.10. История, замечания

Теорема Зейферта–ван Кампена была получена ван Кампеном 1933-м году, в более общей ситуации, чем описано выше. Ван Кампен вычислил фундаментальную группу объединения двух топологических пространств, не предполагая связности и односвязности их пересечения. Аргумент, подобный вышеприведенному, в такой ситуации не работает, потому что если пересечение X и Y несвязно, то непонятно, куда поместить отмеченную точку.

Современная точка зрения на этот результат требует применения

фундаментального группоида. Группоидом называется категория, все морфизмы которой изоморфизмы. Пусть M топологическое пространство. Фундаментальным группоидом M называется категория, объекты которой точки M, а морфизмы из x в y классы гомотопии путей из x в y. Композиция морфизмов соответствует обычному умножению путей. Фундаментальный группоид содержит всю информацию о

Часть III. Лекции по топологии

Egbert Rudolf van Kampen (1908-1942)

фундаментальной группе, но не требует неестественного выбора базовой точки. Гротендик по этому поводу сказал так:

...люди привыкли работать с фундаментальной группой, ее образующими и соотношениями, и продолжают делать это даже в контексте, где такой подход абсолютно неадекватен, когда ясное описание группы образующими и соотношениями можно получить только работая одновременно с целой кучей базовых точек, правильно отобранныхлибо получая эквивалентное описаниюе в алгебраическом контексте группоидов, а не групп. Выбор путей, соединяющих базовые точки, и сведение группоида к одной группе, безнадежно разрушает структуру и внутренние симметрии, присущие геометрической ситуации, приводя к безобразной куче образующих и соотношений, которые никто и не пытается выписать, потому что все понимают, что никакой пользы это не принесет, и запутает картину вместо того, чтобы прояснить ее. Я узнал об этой трудности много лет назад, в ситуациях типа ван Кампена, когда единственная осмысленная формулировка задачи

Лекция 17: Теорема Зейферта–ван Кампена

может быть получена только в терминах амальгамы группоидов...

Теорему Зейферта–ван Кампена можно сформулировать следующим образом. Пусть U и V топологические пространства. Тогда фундаментальный группоид U [ V это расслоенное копроизведение фундаментальных группоидов U и V (взятое в категории группоидов). В такой общности, доказательство теоремы Зейферта–ван Кампена получается значительно проще, чем доказательство ее более слабой версии, приведенное выше.

На странице Рональда Брауна (Ronald Brown)1 выложены его обзоры теории групоидов и любопытная переписка с Гротендиком, который много пропагандировал применение групоидов в топологии.

Теорему Зейферта–ван Кампена довольно часто называют "теорема ван Кампена". Эгберт ван Кампен (1908-1942) получил образование в Нидерландах, но в 1931-м году уехал в Америку, где сотрудничал с Оскаром Зариским. Зариский пытался посчитать фундаментальную группу дополнения к алгебраической кривой, и совместно с ван Кампеном добился успеха. Теорема Зейферта–ван Кампена получилась как побочный продукт этого сотрудничества.

Ван Кампен был вундеркинд (он защитил диссертацию на 21-м году жизни), и умер весьма молодым, от рака.

1http://www.bangor.ac.uk/~mas010/topgpds.html

Часть III. Лекции по топологии

Лекция 18: Подгруппы в свободных группах и теорема НильсенаШрайера

18.1.Фундаментальная группа букета окружностей

Определение 18.1. Графом называется набор вершин и набор ребер, причем каждому ребру соответствует две вершины (возможно, одинаковые), которые называются его концами, или концом и началом, причем каждая вершина является концом хотя бы одного из ребер. Если двум ребрам соответствует одна и та же вершина, эти ребра называются смежными, а вершина общей вершиной ребер. Граф называется конечным, если число его ребер и вершин конечно.

Замечание 18.2. Определение графа чисто комбинаторное: даны два

множества (вершин V и ребер E), и отображение E ! V V из мно-

(x;y) (y;x)

жества ребер в множество неупорядоченных пар вершин. Но для того, чтоб получить в голове какую-то геометрическую картинку, полезно представлять себе граф как совокупность отрезков, соединяющих набор отмеченных точек вершин. Это интуитивное представление можно формализовать, получив понятие топологического пространства графа.

Определение 18.3. Пусть граф, а S множество его ребер. Рассмотрим S как пространство с дискретной топологией, и пусть X := S [0; 1] несвязное объединение S копий отрезка. В этом случае sf1g и s f0g – точки X, соответствующая началу или концу отрезка. Если у ребра s1 и у ребра s2 имеется общий конец, напишем x1 x2, где xi = si f1g или xi = si f0g – соответствующие точки X. Топологическим пространством графа называется факторпространство X= по такому соотношению эквивалентности.

Задача 18.1. Докажите, что топологическое пространство графа всегда хаусдорфово и локально линейно связно.