top-book

Лекция 4: Внутренняя метрика

гообразий.

Хопф и его ученик Вилли Ринов (Willi Rinow, 1907-1979) получили теорему Хопфа-Ринова в 1931-м году, для римановых многообразий. Ее обобщение для локально компактных метрических пространств принадлежит Стефану Кон-Фоссену (Stephan Cohn-Vossen, 1902-1936).

По римановой геометрии есть огромное количество литературы, по большей части совершенно нечитабельной. Лично мне была полезна книжка Милнора “Теория Морса", и “Эйнштейновы многообразия" Артура Бессе. Геометрия пространств с внутренней метрикой восходит, по большей части, к Громову, и к математикам школы А. Д. Александрова (Ю. Бураго, Г. Перельман, Д. Бураго, С. Иванов).

Вот небольшой список литературы, которая может оказаться полезной.

Милнор, Дж., Теория Морса, М.: Мир, 1965 г.

Бессе, А., Многообразия Эйнштейна, М.: Наука, 1990.

Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии, Ижевск: издательство "Институт компьютерных исследований," 2004.

Громов М. Гиперболические группы, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 160 стр.

Громов М. Знак и геометрический смысл кривизны, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000, 128 стр.

Gromov M. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Progress in Math., 152, Birkh¨auser (1999).

Труды Г. Перельмана, А. Петрунина и других авторов на странице А. Петрунина

http://www.math.psu.edu/petrunin/papers/papers.html

Часть III. Лекции по топологии

Лекция 5: Основы общей топологии

5.1. Топологическое пространство

Определение топологического пространства, употребляемое и по сей день, принадлежит Хаусдорфу.

Напомним, что 2M обозначает множество всех подмножеств в M.

Определение 5.1. Пусть M множество, а U 2M набор подмножеств, называемых открытыми. Мы говорим, что U задает топологию на M, если

(i)Любое объединение открытых подмножеств открыто

(ii)Конечное пересечение открытых подмножеств открыто

(iii)M и пустое множество ? открыты.

В такой ситуации M называется топологическим пространством.

Задача 5.1. Проверьте, что метрическое пространство, с обычным понятием открытого множества, удовлетворяет этим аксиомам.

Определение 5.2. Замкнутым множеством называется множество, дополнение которого открыто.

Заметим, что вместо аксиом, использующих открытые множества, можно было бы выбрать аксиомы, основанные на замкнутости. Получается весьма похожая система аксиом: (i) “пересечение любого количества замкнутых множеств замкнуто”, (ii) “объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто", (iii) “M и пустое множество ? замкнуты".

Определение 5.3. Окрестностью подмножества Z M называется любое открытое множество, содержащее Z. Замыканием подмножества Z M называется пересечение всех замкнутых подмножеств, содержащих Z.

Лекция 5: Основы общей топологии

Задача 5.2. Докажите, что замыкание любого множества замкнуто. Найдите замыкание Q в R.

Определение 5.4. Подмножество M называется всюду плотным, если замыкание его совпадает с M. Оно называется нигде не плотным, если его замыкание не содержит непустых открытых подмножеств M.

Задача 5.3. Приведите пример нигде не плотного, континуального подмножества отрезка (в обычной топологии).

Определение 5.5. Пусть M, N топологическое пространство. Отображение ' : M ! N называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт.

Определение 5.6. Пределом последовательности fxig в M называется такая точка x 2 M, что в любой окрестности x содержатся почти все элементы fxig.

Задача 5.4. Придумайте пример пространства, в котором предел не единственный. Докажите, что образ предела, при непрерывном отображении всегда предел.

Определение 5.7. Пусть M топологическое пространство. Базой топологии (base of topology) на M называется набор U 2M подмножеств M, состоящий из открытых множеств, и такой, что любое открытое подмножество M получено объединением набора элементов U.

Определение 5.8. Пусть Z M подмножество топологического пространства M. Подмножества вида U \Z, где U открыто в M, задают топологию на Z (докажите). Эта топология называется индуцированной с M.

5.2. Аксиомы Хаусдорфа

В определении топологического пространства, данном Хаусдорфом, требовалось еще одно условие: условие отделимости. Впоследствии оказалось, что неотделимые топологические пространства встречаются весьма часто, и это условие стали рассматривать как дополнительную аксиому.

Часть III. Лекции по топологии

Определение 5.9. Топологическое пространство M называется отделимым, или хаусдорфовым (separated, Hausdor ), если любые две точки x 6= y 2 M имеют непересекающиеся окрестности U 3 x; V 3 y.

Задача 5.5. Докажите, что в хаусдорфовом топологическом пространстве предел последовательности единственен.

В алгебраической геометрии важную роль играет топология Зариского. Пусть R кольцо, Spec(R) множество его простых идеалов, a f 2 Rлюбой элемент. Обозначим через Af подмножество в Spec(R), состоящее из всех идеалов, которые не содержат f. Рассмотрим на Spec(R) топологию, где база открытых множеств состоит из Af , для всех f 2 R. Эта топология называется топологией Зариского, а Spec(R) спектром кольца.

Oscar Zariski (1899 1986)

Задача 5.6. Рассмотрим пространство Spec(Z), с топологией Зариского. Докажите, что оно нехаусдорфово.

В 1920-е годы математики придумали целую линейку аксиом, T0-T6, которые называются аксиомы отделимости (separation axioms). Каж-

Часть III. Лекции по топологии

x 2 Z1 возьмем шар Br (x), где r = d(x; Z2). Объединение всех таких

3

шаров открыто, и не пересекается с окрестностью Z2, полученной таким же образом.

Задача 5.7. Пусть Z1, Z2 непересекающиеся замкнутые подмножества пространства, где верно T4. Докажите, что у Z1; Z2 есть окрестности, замыкания которых не пересекаются.

Докажем следствие T6 ) T5. Пусть Z M любое подмножество, а K; K0 Z непересекающиеся подмножества, которые замкнуты в Z. Обозна-

чим их замыкания в как , 0. Легко видеть, что не пересекается с 0,

M K K K K

а 0 не пересекается с . Обозначим за 00 пересечение \ 0. Тогда 00

K K K K K K

получается как пересечение счетного семейства открытых множеств Ui. Возь-

замкнутых подмножеств KnU1, K0nU1, замыкания которых не пересекаются. Применив индукцию, получим систему открытых множеств V0 V1 V2 :::, V00 V10 V20 ::: которые не пересекаются, причем Vi KnUi и Vi0 K0nUi. Объединение всех Vi содержит K, открыто, и не пересекается с объединением всех Vi0, которое содержит K0.

Если пропустить предыдущий абзац, никакой беды в этом не будет, в дальнейшем этот аргумент не используется.

Задача 5.8 (*). Для каждой из аксиом Ti, придумайте примеры пространств, в которых она выполнена, а предыдущая не выполнена.

Задача 5.9. Докажите, что в пространстве Spec(R) с топологией Зариского выполнена аксиома T0, а T1 не выполнена для Spec(Z).

5.3. Аксиомы счетности

Определение 5.11. Пусть M топологическое пространство, а x 2 Mточка. Набор окрестностей fU 3 xg называется базой окрестностей в точке ("local base"), если каждая окрестность x содержит какую-то из окрестностей U .

Лекция 5: Основы общей топологии

Определение 5.12. Топологическое пространство обладает счетной базой в точке, если у каждой точки есть счетная база окрестностей. Это условие также называется первой аксиомой счетности (first axiom of countability).

Метрическое пространство удовлетворяет этому условию (докажите). Для пространства M со счетной базой окрестностей в точке, Z M замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит предельные точки всех последовательностей. Доказательство вполне аналогично доказательству этого факта для метрических пространств (докажите). Поэтому для пространств со счетной базой окрестностей в точке, непрерывность можно определять через пределы последовательностей, как это делается

для метрических пространств.

Определение 5.13. Топологическое пространство обладает счетной базой, если у него есть счетная база открытых множеств. Это условие также называется второй аксиомой счетности (second axiom of countability).

По-английски, пространства, удовлетворяющие первой и второй аксиоме счетности, часто называют first-countable, second-countable.

В топологии и алгебраической геометрии, слово "сепарабельность" синоним отделимости. В анализе бесконечномерных пространств, "сепарабельно" значит "содержит плотное, счетное подмножество". Не перепутайте!

Задача 5.10. Докажите, что пространство со счетной базой в точке содержит плотное, счетное подмножество тогда и только тогда, когда у него есть счетная база.

Часть III. Лекции по топологии

Лекция 6: Произведение пространств

[Лекция 6: Произведение пространств]

6.1. Свойства произведения

Определение 6.1. Пусть M топологическое пространство. Напомним, что базой топологии на M называется такой набор открытых подмножеств fU g 2M , что любое открытое множество получается как объединение элементов U . Предбазой топологии на M называется такой набор открытых подмножеств fU g 2M , что любое открытое множество получается как объединение (возможно, бесконечное) и конечное пересечение элементов из набора fU g.

Замечание 6.2. Любой набор множеств fU g 2M , такой, что

[

U = M;

является предбазой некоторой топологии на M. Определим топологию на M таким образом, что открытые множества получаются объединениями и конечными пересечениями элементов fU g. Проверьте, что это топология.

Замечание 6.3. По той же самой причине, базой некоторой топологии на M является любой набор множеств fU g 2M , который замкнут относительно конечных пересечений1 и удовлетворяет S U = M (проверьте).

Пусть M; M0 топологические пространства. Пусть U 2M M0 набор подмножеств M M0, состоящий из всех подмножеств вида U U0, где U M, U0 M0 открыты. Очевидно, U замкнуто относительно взятия конечных пересечений (проверьте это). В силу вышеизложенного, оно является базой топологии на M M0.

1Замкнутость fU g относительно конечных пересечений означает, что для

T

любого конечного набора U1; :::Uk 2 fU g, пересечение i Ui лежит в fU g.

Лекция 6: Произведение пространств

Определение 6.4. Рассмотрим M M0 с топологией, заданной базой открытых множеств вида U U0, где U M, U0 M0 открыты. Это топологическое пространство называется произведением M1 и M2.

Задача 6.1. Докажите, что произведение пространств, удовлетворяющих первой (второй) аксиоме счетности, снова удовлетворяет первой (второй) аксиоме счетности.

Напомним, что хаусдорфово топологическое пространство – такое пространство, что любые две точки его имеют непересекающиеся окрестности. Произведение хаусдорфовых топологических пространств снова хаусдорфово. Действительно, пусть (x; x0) и (y; y0) две разные точки в M M0. Тогда либо x 6= y, либо x0 6= y0. Предположим, что верно первое. Возьмем непересекающиеся окрестности U; V у x; y, тогда открытые множества U M0, V M0 содержат (x; x0) и (y; y0) и не пересекаются.

Определение 6.5. Отображение M ! M M, x ! (x; x) называется диагональным вложением, а его образ диагональю. Докажите, что непрерывно.

Задача 6.2. Докажите, что пространство M является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда диагональ замкнутое подмножество в

M M.

Произведение нескольких топологических пространств определяется индуктивно: (M1 M2) M3 :::. Докажите, что результат не зависит от порядка расстановки скобок.

6.2. Отображения в M M0

Определение 6.6. Пусть на множестве M заданы две топологии: U1 и U2. Говорится, что U1 слабее U2, а U2 сильнее U1, если тождественное отображение (M; U2) ! (M; U1) непрерывно.

Чем слабее топология, тем больше сходящихся последовательностей, меньше непрерывных функций и меньше открытых множеств; на каждом множестве, кодискретная топология самая слабая, а дискретнаясамая сильная.

Часть III. Лекции по топологии

Очевидно, топология произведения слабейшая топология на M M0

Топологию произведения можно охарактеризовать следующим образом.

Утверждение 6.7: Пусть M; M0; X топологические пространства, a

рывны композиции ' , ' 0. Это задает биекцию между множествами

Доказательство:

Биекция (6.2.1) строится так: паре ('; '0) ставится в соответствие отоб-

ражение 0 . Если непрерывно, то , 0 тоже непре- x ! ('(x); ' (x)) ' '

рывны, потому что они получены композицией с проекцией. С другой

стороны,

1(U U0) = ' 1(U) \ '0 1(U0)

(проверьте это). Следовательно, 1(V ) открыто для любого открытого V M M0, если '; '0 непрерывны.

Пусть f : X ! Y любое отображение. График f это множество всех пар вида (x; f(x)) 2 X Y . Диагональ является графиком тождественного отображения.

6.3. Произведение метрических пространств

Обозначим, как и раньше, за R 0 множество всех неотрицательных чисел.

Утверждение 6.8: Пусть (M; d) и (M0; d0) метрические пространства, а : (R 0)2 ! R 0 функция, удовлетворяющая следующим условиям: