TP_1
.pdfТренировочная работа № 1 Пределы числовых последовательностей и функций.
Образец выполнения тренировочной работы № 1.
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
1.1. a |
|
: |
1 |
, |
1 |
, |
1 |
, |
1 |
|
, , |
( 1) n 1 |
, |
n |
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
4 |
6 |
8 |
|
2n |
|
||||||
|
|
|
|
Решение:
Данную последовательность можно представить как произведение ограниченной последовательности ( 1)n 1 , предел которой не определён, и сходящейся
последовательности 21n , предел которой равен нулю. Согласно одному из свойств
бесконечно малых последовательностей, произведение ограниченной и бесконечно малой последовательности есть бесконечно малая последовательность.
Поэтому lim an
n
1.2. an n2 2 .
3n 1
lim |
( 1)n 1 |
lim |
1 |
0 . |
|
|
|||
n |
2n |
n 2n |
|
Решение:
lim an lim n2 2
n n 3n 1
1.3. an n cos n2 .
1 n2 1lim n
n 1n (3n 1)
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
|
n2 |
|
|
|
1 0 |
|
|
1 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
0 |
|
3 |
||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Как и в первом пункте данного задания, представим данную последовательность в виде
произведения двух последовательностей: |
a |
n |
b |
c |
n |
, где |
b n, |
c |
n |
cos n2 |
. Очевидно, |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|||
что lim bn . Последовательность |
cn в силу свойств косинуса является ограниченной: |
|||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cn 1. Таким образом, члены последовательности an при n будут принимать
как неограниченно большие, так и неограниченно малые значения. Следовательно, данная последовательность является расходящейся и предел её не определён.
Задание 2. Найти пределы функций:
2.1. lim |
x2 |
x 2 |
. |
|
|
|
x 2 |
|
|
||
x 3x2 |
|
|
|
||
Решение: |
|
|
|
|
|
В данном случае имеем неопределённость вида |
|
. Для её раскрытия используем |
|||
|
|
|
|
|
|
следующее известное свойство.
|
|
Пусть дана дробно-рациональная функция f (x) |
P(x) |
, |
где P(x),Q(x) некоторые |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x) |
|
|
|
|
|
многочлены. Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
Если степень многочлена P(x) |
больше степени многочлена Q(x) , то lim f (x) . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2. |
Если степень многочлена P(x) |
меньше степени многочлена Q(x) , то lim f (x) 0 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3. |
Если степень многочлена P(x) |
равна степени многочлена Q(x) , то lim f (x) |
p |
, где |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
q |
|
|
|
p, q числовые коэффициенты при наивысших степенях x |
в данных многочленах. |
|||||||||||||
В |
|
данном |
случае степени числителя и знаменателя |
равны двум, |
поэтому |
|||||||||||
lim |
|
x2 x 2 |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 3x2 x 2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.2. lim |
|
x2 |
8x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x 3x2 |
2x3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае снова имеем неопределённость вида . Для её раскрытия используем то же известное свойство, что и в предыдущем случае. Степень числителя равна двум,
а степень знаменателя – трём. Поэтому lim |
x2 |
8x |
|
|
0 . |
|
|
||||||
|
2x3 |
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x 3x2 |
|
|
|
||||||
2.3. lim |
|
x2 |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В данном |
случае снова имеем неопределённость |
вида |
0 |
. Чтобы раскрыть её, |
|||||||||
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразуем данную функцию, предварительно разложив на множители числитель и
знаменатель: lim |
|
|
x2 4 |
lim |
(x 2)(x 2) |
lim |
|
x 2 |
|
|
4 |
. |
||||||
x2 5x 14 |
(x 2)(x 7) |
|
x 7 |
9 |
||||||||||||||
|
|
|
|
x 2 |
x 2 |
x 2 |
|
|
||||||||||
2.4. lim |
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x x |
1 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В данном случае имеем неопределённость вида |
1 |
|
. Чтобы раскрыть её, домножим и |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
числитель, и знаменатель данной дроби на выражение, сопряжённое к знаменателю:
lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
x 1 |
|
x 1 |
|||||
x |
|||||||
|
|
|
|
|
2
2.5. lim x 43 x .
x 0 3 x2 3 x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
x 1 |
x 1 |
|
|
x 1 |
x 1 |
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
x 1 |
x 1 |
|
|
x 1 |
|
x 1 |
x |
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Решение:
В данном случае имеем неопределённость вида 00 . Чтобы раскрыть её, введём подстановку t 6 x . Заметим, что t 0 при x 0 . Получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
x 43 x |
|
lim |
|
t 3 4t 2 |
lim |
t 4 |
|
|
4 |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 4 |
|
t 2 |
t 2 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x 0 3 x 2 |
|
3 x |
|
t 0 |
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.6. |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x 0 sin 2 |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Имеем неопределённость вида |
|
0 |
|
. Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
который допускал бы применение первого замечательного предела lim |
sin x |
1 или его |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
||
следствия: lim |
|
sin (x) |
|
1, если (x) 0 |
при x a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(5x) 2 |
|
|
|
2 |
lim |
5x |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
2 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x 0 |
sin |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin 5x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
x 0 |
sin 5x |
|
25 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 25 |
|
|
|
|
|
25 x 0 |
sin 5x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. При выполнении этого задания и заданий, подобных ему, можно использовать и другие способы решения – например, применить правило Лопиталя или эквивалентность бесконечно малых функций.
2.7. lim cos x .
x 2 x
2
Решение:
Имеем неопределённость вида 00 . Чтобы раскрыть её, как и в предыдущем задании,
приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение первого
замечательного предела lim |
sin x |
1 . Введём подстановку |
t |
|
x . Заметим, что t 0 , |
|||||||||||||||
x |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
||||
при x |
. Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
cos( |
t) |
sin t |
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
lim |
|
2 |
|
lim |
1 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
x |
t 0 |
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.8. |
lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Имеем неопределённость вида 1 . Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду,
|
|
|
1 x |
e . |
|
который допускал бы применение второго замечательного предела lim 1 |
|
|
|||
|
|||||
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 x lim x x 2
2.9. 2
lim 1
x 3 x
|
x 2 |
4 |
x |
||
lim |
|
|
|
||
x |
2 |
||||
x |
|
|
|||
|
|
|
|
x .
|
|
|
4 |
x |
|
lim 1 |
|
|
|
||
x 2 |
|||||
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x 2 |
4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
x |
|
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
1 |
|
|
|
|
e x x 2 |
|
e |
|
. |
|||||
|
x 2 |
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Обратим внимание, что в данном случае x 3 , поэтому нет необходимости использовать второй замечательный предел, поскольку нет никакой неопределённости, и предел может быть вычислен непосредственно.
|
|
2 |
x |
|
|
|
2 3 |
|
5 |
3 |
125 |
|
|||
lim 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 3 |
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
27 |
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.10. |
lim 5 x 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Прежде всего, заметим, что если x стремится к единице слева, то x 1 будет принимать
близкие к нулю отрицательные значения, и выражение |
1 |
|
, очевидно, стремится к |
||||||||||
x 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
. Тогда: lim 5 x 1 |
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|||||
|
5 |
|
|
|
|
||||||||
x 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:
f (x) |
|
x2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x2 4x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдём область определения данной функции. |
D( f ) :( ;1) (1;3) (3; ) . Итак, |
имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||
две точки разрыва: x1 |
1 и x2 |
3. Теперь определим, каков характер разрыва функции в |
|||||||||||||||||||||||||||||
каждой из этих точек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Точка x1 |
1 является |
точкой бесконечного разрыва (второго рода), так как: |
||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
x 2 3x |
|
2 |
|
, lim |
|
|
x 2 3x |
|
|
|
2 |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
2 |
4x 3 |
x |
2 |
4x 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x 1 0 |
|
|
|
x 1 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Точка x2 3 является точкой устранимого разрыва, так как: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
x 2 3x |
lim |
|
x(x 3) |
|
|
lim |
|
x |
|
|
|
|
3 |
1,5 |
|
||||||||||||
|
x 2 |
4x 3 |
(x 1)(x 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x 3 0 |
|
|
x 3 0 |
|
x 3 0 x |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
x 2 3x |
|
lim |
|
|
x(x 3) |
|
lim |
|
x |
|
|
|
3 |
|
1,5 . |
|
|||||||||||
|
x 2 |
4x 3 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x 3 0 |
|
|
x 3 0 (x 1)(x 3) |
|
|
|
x 3 0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Окончательный |
|
ответ: |
функция |
непрерывна при x ( ;1) (1;3) (3; ) ; |
точка |
x1 1 является точкой бесконечного разрыва, т.е. точкой разрыва 2-го рода; точка x2 3 является точкой устранимого разрыва.
Вариант № 1.
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
1.1. |
1; |
1 |
; |
1 |
; ; |
( 1)n 1 |
; . 1.2. |
a n |
|
n 1 |
|
; 1.3. an |
n! |
. |
|
2 |
4 |
2n 1 |
4n 3 |
cos n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2. Найти пределы функций:
2.1. lim |
3x2 4x 2 |
||
x2 6x 5 |
|||
x |
|||
2.6. lim |
x |
. 2.7. |
|
|
|||
sin 5x |
|||
x 0 |
|
. 2.2. lim |
|
2x2 5x |
. 2.3. |
lim |
|
x2 1 |
|||||
|
|
|
|
x2 |
6x 7 |
||||||
|
x 3x3 5x 1 |
|
|
|
x 1 |
||||||
|
ctg 2x |
|
x 3 |
x |
|
|
|||||
lim |
|
. 2.8. |
lim |
|
|
|
. 2.9. lim(1 |
||||
|
|
|
|
||||||||
x |
5x |
|
x x 2 |
|
|
|
x 2 |
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
x |
|
|
|||||||||
. 2.4. lim |
|
|
|
|
|
|
. 2.5. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
x 2 4 |
|
|
|
x 0 3 x2 6 x |
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) x . 2.10. |
|
|
lim 3 x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
x 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:
f (x) x2 1 . x2 4x 3
Вариант № 2.
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n2 |
1 |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.1. |
1; |
|
|
; |
|
|
; ; |
|
; . |
1.2. an |
|
|
|
|
; 1.3. an |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
4 |
2n 1 |
|
4n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Задание 2. Найти пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.1. |
|
|
|
lim |
4x 2 |
. |
2.2. |
lim |
2x |
. |
|
2.3. lim |
|
. |
2.4. |
3 |
x2 2 |
|
. 2.5. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x 5 |
|
|
|
5x2 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
6x |
|
|
|
|
x 3x4 |
|
|
|
|
|
x 1 x2 |
2x 3 |
|
|
|
|
|
x |
|
x 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
x 3 |
|
|
x |
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
ctg 4x |
|
|
|
|
x 3 |
2.9. lim(1 |
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2.6. lim |
|
. 2.7. |
lim |
|
|
. 2.8. |
lim |
|
|
. |
|
) |
|
. 2.10. |
|
lim 5 x 2 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 3 x4 6 x |
|
|
x 0 |
tg 5x |
|
|
|
|
x |
|
5x |
|
|
|
x x 3 |
|
x 3 |
|
|
x |
|
|
|
|
x 2 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:
f(x) x2 3x 2 . x2 4x 3
Вариант № 3.
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
1.1. |
1; |
1 |
; |
1 |
; ; |
( 1)n 1 |
; . 1.2. |
a n |
|
n 1 |
|
; 1.3. an |
n |
. |
||
3 |
9 |
3n 1 |
n2 |
3 |
cos n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2. Найти пределы функций:
2.1. |
lim |
|
x2 |
x 2 |
. 2.2. |
||
|
|
x 5 |
|||||
|
x 4x2 |
|
|
||||
2.6. |
lim |
|
x |
|
. 2.7. |
lim |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
x 2 |
sin 5x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
2x4 |
5x 8 |
|
|
|
|
x2 x 2 |
|
|
|
|
4 |
x3 x |
|
||
lim |
|
|
|
. 2.3. |
|
lim |
|
. 2.4. lim |
|
|
|
|||||
|
|
|
x2 6x 7 |
|
|
|
||||||||||
x 3x2 |
5x 1 |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
x |
x 2 4 |
|||||
ctg 2x |
|
|
2x 1 |
x |
2.9. lim(1 |
1 |
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
. 2.8. lim |
|
|
|
. |
|
) |
|
. 2.10. |
lim 3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ctg 3x |
|
x x 2 |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
x 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 12 x5 |
|||||
. 2.5. lim |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
||||||||
|
x 0 3 |
x 2 4 x |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 . |
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:
f (x) x2 2x 4 . x2 3x 10
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
расходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.1. 1; |
1 |
; |
1 |
|
; ; |
1 |
; . 1.2. a n |
n2 |
1 |
; 1.3. an |
|
cos n |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7n 3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Задание 2. Найти пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.1. |
|
|
|
|
|
3x2 |
4x 2 |
. |
2.2. |
|
|
x5 5x 11 |
. |
2.3. lim |
|
|
x2 |
4 |
|
. |
2.4. |
|
4 |
|
x4 1 |
|
. 2.5. |
||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
9x2 x 2 |
|
|
|
x 3x3 |
5x 1 |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
x2 |
3x 2 |
|
|
|
|
x |
9x2 |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg 6x |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
sin 8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.9. lim(1 |
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2.6. lim |
|
|
. 2.7. |
lim |
|
|
. 2.8. lim |
|
|
|
. |
|
) |
|
. 2.10. lim |
|
|
3 x 1 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 3 |
x 4 |
|
6 |
|
x |
|
|
x 0 |
sin 5x |
|
|
x |
|
3x |
|
|
|
|
x x |
1 |
|
x 2 |
|
x |
|
|
|
|
|
x 1 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:
f(x) x2 6x 9 . x2 4x 3
Вариант № 5.
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1. 2; |
2 |
; |
2 |
; ; |
2 |
; . 1.2. an |
|
|
2 5n |
|
; 1.3. an |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
9 |
|
|
|
|
|
|
n2 n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Задание 2. Найти пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.1. |
lim |
|
x 4x2 2 |
. 2.2. |
lim |
|
3x2 |
5x 1 |
. |
2.3. |
lim |
x2 16 |
. 2.4. |
lim |
x4 x 4 1 |
|
. 2.5. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 9x2 x 1 |
|
x 3x3 |
5x2 1 |
|
|
|
x 4 |
x2 5x 4 |
|
x |
|
9x3 4 |
|
|
lim |
|
x5 |
3 |
x2 |
|
. 2.6. |
lim |
tg 3x |
. 2.7. lim |
|
|
6 |
|
|
sin 5x |
||||
|
|
||||||||
x 0 3 x7 |
x5 |
|
|
x 0 |
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
cos 3x
x
2
|
x 1 |
x |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||
. 2.8. |
. 2.9. lim(1 |
|
5 |
. 2.10. |
lim 4 x 1 . |
|||||||
lim |
|
|
|
|
) |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
x x 1 |
|
x |
x |
|
|
|
x 1 0 |
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:
f(x) x2 4x 4 . x2 x 6
Вариант № 6.
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
1.1. 2,1; 2,11; 2,111; . 1.2. an |
|
2n 1 |
5n 1 |
; 1.3. |
an ln |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2n |
5n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Задание 2. Найти пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 4x 2 |
|
|
|
|
|
3x |
2 5x4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
3x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.1. |
|
lim |
|
. 2.2. |
lim |
|
. |
|
2.3. |
|
lim |
. |
2.4. |
lim( x 2 |
|
x ) . 2.5. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 7x2 1 |
|
x3 5x2 1 |
|
|
x2 |
5x 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
x |
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
3 x |
|
|
|
tg 7x |
|
|
|
|
|
|
1 cos 5x |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
5 |
||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2.6. |
lim |
|
. 2.7. |
lim |
|
|
|
|
|
|
. 2.8. lim |
|
|
. 2.9. lim |
1 |
|
. 2.10. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x 1 |
|
||||||||||||||||||||||||
x 0 |
3 |
|
x |
|
|
|
6 |
x |
|
|
x 0 tg 5x |
|
|
|
|
x |
0 |
|
2x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
4 x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:
f(x) x2 4x 4 . x3 8
Вариант № 7.
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
1.1. 1,2;1,22;1,222; . 1.2. an |
|
4n 1 |
5n 1 |
; 1.3. an |
ln |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4n |
5n |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задание 2. Найти пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
3x2 4x |
|
12 . 2.2. |
|
3x2 5x4 |
2 |
|
|
|
x2 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2.1. lim |
lim |
. 2.3. lim |
|
|
. 2.4. |
lim |
x2 |
2x |
x2 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
x4 x 1 |
x 2x2 5x4 1 |
|
|
|
x 5 |
x2 4x 5 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
4 |
x |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
1 cos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||
2.5. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2.6. lim |
|
|
|
. 2.7. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
. 2.8. |
lim 1 |
|
|
. 2.9. |
lim 1 |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x 0 |
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
x 0 |
tg 5x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.10. lim |
|
4 x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. |
Исследовать функцию на непрерывность: |
||
f (x) |
x3 27 |
|
|
|
. |
|
|
x2 4x 3 |
|
Вариант № 8.
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
1.1. 1,3;1,33;1,333; . 1.2. an |
4n 1 |
3n 1 |
|
|
|
|
|
n |
2 |
sin n . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
; 1.3. an |
|
|
||||||||||||||||||||||||
4n |
3n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Задание 2. Найти пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2.1. |
lim |
3x |
5 4x2 12 |
. 2.2. |
lim |
x2 |
5x4 2 |
|
. 2.3. |
|
lim |
x2 25 |
|
|||||||||||||||||
|
|
x4 |
x5 3x |
|
2 5x3 |
|
|
|
|
x2 4x 5 |
||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x 2x |
1 |
|
|
|
|
x 5 |
||||||||||||||||||
|
|
x5 |
|
4 |
|
x |
|
|
. 2.6. |
|
|
sin 6 x |
. 2.7. |
|
|
|
|
sin 3 x |
. 2.8. |
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||
x 0 3 |
|
|
|
12 |
|
5 |
|
|
|
x 0 5x |
|
|
|
x |
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.10. |
lim |
|
2 x 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:
|
|
|
|
|
|
x . 2.5. |
|||
. 2.4. |
lim |
x2 |
x |
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
2 x |
|
|
|
|
2x 5 x 1 |
|
|||
|
. |
2.9. |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
x |
|
x |
|
2x 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) x3 1 . x2 4x 3
Вариант № 9.
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
1.1. 1,4;1,44;1,444; . 1.2. an |
|
4n 1 |
7n 1 |
|
|
|
an n |
3 |
|
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
; 1.3. |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
4n |
7n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Задание 2. Найти пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x4 |
4x |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
x3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.1. |
lim |
. |
2.2. |
|
lim |
|
. |
|
2.3. |
|
lim |
|
|
. |
|
2.4. |
lim |
1 x 1 |
. |
2.5. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
3x4 |
x2 3x |
|
|
|
x x2 |
5x5 9 |
|
|
|
|
|
x 5 |
|
x2 4x 5 |
|
|
|
x 0 |
3 1 |
x 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
x5 4 x |
|
|
|
|
|
|
sin 6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 5x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x 5 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2.6. lim |
|
|
. 2.7. |
|
lim |
|
|
|
|
|
. 2.8. |
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
. 2.9. lim |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
3 |
x |
2 |
|
6 |
x |
5 |
|
|
|
x 0 |
5x |
|
|
|
|
x |
0 |
|
4x |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.10. |
|
lim 2 x 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:
f (x) x3 8 . x2 7x 10
Вариант № 10.
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
1.1. 1,7;1,77;1,777; . 1.2. an |
|
4n 1 |
7n 1 |
; 1.3. |
an |
n |
2 |
cos |
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4n |
7n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Задание 2. Найти пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x4 |
4x2 |
1 |
|
|
|
|
x2 |
x3 2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x 1 |
2 |
|
|
3 |
|
(x 1) |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2.1. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2.2. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2.3. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. 2.4. lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
x |
|
2x |
3 |
|
x |
x |
x |
4 |
|
|
x 1 |
|
x |
4x 5 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
4 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos 6x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2.5. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2.6. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. 2.7. |
|
lim |
|
|
|
|
|
. |
2.8. |
lim |
1 |
|
|
|
|
|
3 . 2.9. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 2 |
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 3 x2 44 x |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3 x 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2.10. lim 6 3 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. |
Исследовать функцию на непрерывность: |
||
f (x) |
x3 1 |
|
|
|
. |
|
|
x2 7x 8 |
|
Вариант № 11.
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
1.1. |
1; |
1 |
; |
1 |
; ; |
( 1)n 1 |
; . 1.2. |
an |
|
n2 |
1 |
; 1.3. an |
n! |
. |
|
2 |
4 |
2n 1 |
4n 3 |
cos n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2. Найти пределы функций:
2.1. lim
x
2.6. lim
x 0
3x2 4x 2 |
|
|
|
2x2 5x |
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
3 |
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
. 2.2. lim |
|
|
|
|
. 2.3. |
lim |
|
|
|
. 2.4. lim |
|
|
|
|
|
. 2.5. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6x2 x 5 |
|
x 3x3 5x 1 |
|
|
|
x 1 |
2x 3 |
|
|
|
|
x |
x 2 4 |
|
|
|
x 3 x 4 6 x |
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
ctg 4x |
|
x 3 |
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
. 2.7. |
lim |
|
. 2.8. |
lim |
|
|
|
. 2.9. lim(1 |
|
|
) |
|
. 2.10. |
|
lim 3 x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
sin 5x |
|
x |
5x |
|
x x 2 |
|
|
|
x 3 |
|
x |
|
|
|
|
x 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:
f(x) x2 3x 2 . x2 4x 3
Вариант № 12.
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
1.1. |
1; |
1 |
; |
1 |
; ; |
( 1)n 1 |
; . 1.2. |
a n |
|
n2 |
1 |
|
; 1.3. an |
n |
. |
|
3 |
9 |
3n 1 |
7n 3 |
cos n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2. Найти пределы функций:
2.1. |
lim |
3x2 |
4x 2 |
. |
|||
9x2 |
|
x 2 |
|||||
|
x |
|
|
||||
. 2.6. lim |
x |
|
. 2.7. |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
x 2 |
sin 5x |
|
2.2.
lim
x
2
|
2x4 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
x3 x |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|||
|
5x 8 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
. 2.3. lim |
|
|
|
. 2.4. lim |
|
|
|
|
. 2.5. |
lim |
|
|
|
|
|
||||||||
3x2 |
5x 1 |
x2 |
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
x |
x 2 4 |
|
|
|
|
x 3 x 4 |
6 x |
|
||||||||||||
ctg 6x |
|
|
|
|
2x 1 x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
lim(1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
. 2.8. |
lim |
|
. 2.9. |
|
) |
|
. 2.10. |
lim 3 x 3 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3x |
|
|
|
x |
x 2 |
|
|
x 2 |
|
x |
|
|
|
|
|
x 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:
f(x) x2 6x 9 . x2 4x 3