Пример 6.

Найти площадь области D, ограниченной линиями , , .

Решение. Известно, что площадь области D может быть найдена по формуле

Область D, площадь которой требуется найти в задаче, изображена на рисунке 10.

Очевидно, эта область является правильной в направлении оси Ох. Значит, выбираем порядок интегрирования «no dy - no dx»:

Проекция области D на ось Оу есть отрезок [0;1], т.к. координаты точки А пересечения линий и равны (1;1) (проверьте!). Линия “входа” есть , запишем это уравнение в виде . Линия “выхода” , запишем это уравнение в виде . Тогда

(кв.ед.).

Пример 7.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями , y=1, y+z=2, z=0.

Решение.

Известно (стр.2), что объем цилиндрического тела, основанием которого служит область D плоскости хОу, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y), может быть найден по формуле .

Построим заданное тело. Поверхностями, ограничивающими его, являются: z=0 – плоскость хOу; y=1 – плоскость параллельная плоскости хOz; y+z=2 – плоскость, параллельная оси Oх; - параболический цилиндр, образующие которого параллельны оси Oz, а направляющей служит парабола в плоскости хOу. Значит, тело, объём которого требуется найти, имеет вид, изображённый на рисунке 11,а. Очевидно, это тело – цилиндрическое.

Снизу тело ограничено областью D плоскости хОу (рис.11б), а сверху – частью плоскости y+z=2 (и значит, z=f(x,y)=2–y). Тогда

(куб ед.).

Пример 8. Плоская область D ограничена линиями y=1, y=-2, x=1, x=-1 . По области распределена масса так, что плотность ее в каждой точке области равна произведению квадратов координат этой точки. Найти:

а) массу области D;

б) координаты центра масс области D;

в) момент инерции области D относительно оси Ох.

Решение. а) Известно, что если плотность массы области переменная и равна , то массу m этой области можно найти с помощью двойного интеграла по формуле