Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Криволинейный первого рода

.docx

Скачиваний:

103

Добавлен:

04.06.2015

Размер:

354.79 Кб

Скачать

☆

Криволинейный интеграл первого рода

Пусть на дуге гладкой кривой L определена непрерывная функция . Разобьем дугу произвольным образом точками на п частей. Длину частичной дуги обозначим , а . На каждой дуге возьмем произвольную точку P_i(_i, _i) и вычислим значения . Составим интегральную сумму

Определение

Если существует конечный предел при _n0 последовательности {_n} интегральных сумм, не зависящий ни от способа разбиения дуги , ни от выбора точек P_i(_i, _i), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(х, у) по дуге и обозначается .

Таким образом, по определению

Криволинейный интеграл I рода называют еще криволинейным интегралом по длине дуги (т.к. есть дифференциальный элемент длины дуги кривой ).

Свойства криволинейного интеграла первого рода:

1. , где – длина дуги (геометрическая интерпретация криволинейного интеграла I рода).

2. Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования, т.е. .

3. - свойство линейности

4. Если , то =+(свойство аддитивности)

5. Если f(P)  g(P),  то 

6. Если m  f(P)  M, PL, то mL   ML

7. Существует точка Q L: = f(Q)L (Теорема о среднем.)

С физической точки зрения определяет массу материальной кривой (массу тонкого неоднородного криволинейного стержня) с плотностью :

Статические моменты относительно осей координат материальной кривой l с плотностью определяются по формулам

, ,

а координаты центра масс такой кривой равны

, .

Кроме того, для материальной кривой l моменты инерции относительно осей Ох, Оу и начала координат равны соответственно

, , .

Вычисление криволинейного интеграла первого рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода, также как и двойного интеграла, сводится к вычислению определенного интеграла.

Если кривая L задана уравнением y = (x), а дуга соответствует изменению x на отрезке [a, b], то

Если определена уравнением x = (y), y  [c, d], то

Если дугу определяют параметрические уравнения t[,], то

Рассмотрим примеры вычисления криволинейных интегралов I рода.

Пример 1.

Вычислить , если L:

а) отрезок прямой 3x–2y+6=0 между точками A(-2,0) и B(2,6);

б) верхняя половина окружности , .

Решение.

а) Чтобы преобразовать заданный криволинейный интеграл к определенному интегралу, нужно линию L, по которой идет интегрирование, описать условиями одного из трех видов:

, где ;

где .

В нашей задаче линия L задана уравнением 3x–2y+6=0. Выразим из этого уравнения переменную у: . Поскольку рассматривается отрезок АВ этой прямой, где A(-2,0) и B(2,6), то на этом отрезке переменная х принимает значения из промежутка . Следовательно, линия L определена условиями вида , . Поэтому преобразование криволинейного интеграла к определенному интегралу производим по формуле

Тогда имеем

В этой задаче переменной интегрирования можно было выбрать также y, выразив из уравнения прямой переменную х через у: . При этом на отрезке АВ переменная у принимает значения из промежутка . Тогда линия интегрирования L будет определена условиями вида , и переход к определенному интегралу осуществляется по формуле:

Используя эту формула, получим

Получили тот же результат.

б) Параметрические уравнения , определяют на координатной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом a (рис.1), причём верхняя половина этой окружности соответствует изменению параметра t от 0 до π.

Рисунок 1

Поскольку линия интегрирования L задана условиями вида , то преобразование криволинейного интеграла к определенному производим по формуле:

Тогда получим

Пример 2.

Найти массу дуги параболы y² = 2x + 4 между точками пересечения её с осями координат, если плотность масс в любой точке дуги пропорциональна ординате этой точки.

Решение.

Парабола , или симметрична относительно оси Ох, вершина её находится в точке . Ось Ох эта парабола пересекает в точке , а в точках и она пересекает ось Оу (рис. 2). Найдем массу дуги l параболы, заключенной между точками и .

В каждой точке этой дуги, по условию, плотность масс пропорциональна ординате этой точки, и значит, равна , где , а – коэффициент пропорциональности.

Как отмечалось выше (стр.2), масса материальной дуги кривой может быть найдена по формуле

Значит, масса рассматриваемой дуги l параболы равна

Чтобы преобразовать этот криволинейный интеграл к определенному, запишем уравнение параболы в виде . На рассматриваемой дуге параболы y  [0, 2]. Тогда

(ед. массы).

Аналогично понятию криволинейного интеграла по кривой на плоскости (в ) может быть дано понятие криволинейного интеграла по пространственной кривой.

Пусть – дуга гладкой пространственной кривой, на которой определена и непрерывна функция . Тогда

где – длины отрезков разбиения дуги, , () –произвольная точка, взятая на k-той частичной дуге разбиения.

Если дуга задана условиями: , то и

Пример 3.

Вычислить , если L – отрезок прямой от точки A(1,0,1) до точки B(0,3,4).

Решение.

Чтобы вычислить данный интеграл, нужно сначала описать уравнениями линию, по которой идет интегрирование. Поскольку это – прямая, проходящая через заданные точки, то чтобы найти её уравнения, используем соответствующую формулу:

Получим:

 

Из этих уравнений координаты точки получаются при , а координаты точки получаются при . Таким образом, линия интегрирования L определяется условиями

Тогда

Пример 4.

Найти центр масс контура треугольника с вершинами , , , если плотность в каждой точке этого контура равна сумме квадратов координат этой точки.

Решение.

Чтобы найти координаты центра масс данной кривой, используем формулы, приведенные на странице 2:

, .

Найдем сначала массу линии – контура треугольника АВС. По условию, плотность масс в каждой точке кривой равна сумме квадратов координат этой точки, значит, . Контур рассмотренного треугольника состоит из трех участков (рис.3): АВ, ВС, АС. Найдем массу каждого участка отдельно: