Двойной интеграл, его вычисление.

Пусть в ограниченной замкнутой области DR² задана непрерывная функция . Разобьем D на n частей D_i, площадь каждой частичной области D_i обозначим S_i, а также обозначим _n = .

В каждой области D_i произвольным образом возьмем точку D_i и вычислим f(P_i). Составим сумму – интегральную сумму для функции по области D. Будем рассматривать такую последовательность интегральных сумм {_n}, соответствующую различным разбиениям, что _n  0 при n   (такую последовательность называют нормальной последовательностью разбиений).

Определение 1.

Если существует конечный предел последовательности {_n} при _n 0, не зависящий ни от способа разбиения области D, ни от выбора точек , то этот предел называется двойным интегралом по области D от функции и обозначается .

Таким образом, по определению:

В этом случае функция называется интегрируемой в области D.

Теорема.

Если f(P) непрерывна в D, то она интегрируема в этой области (то есть существует ).

Свойства двойного интеграла:

1. , где - площадь области D.

2.

(свойство линейности двойного интеграла).

3. Если , то

(свойство аддитивности двойного интеграла)

4. Если  P(x,y)D, то .

5. Если m  f((x,y)  M,  P(x,y)D, то .

6. Существует точка Q(x,y) D: = f(Q) (Теорема о среднем.)

(свойства 4-6 служат для оценки двойного интеграла).

Рассмотрим геометрический смысл двойного интеграла

.

Введем понятие: цилиндрическим телом назовем пространственное (т.е. в R³) тело, ограниченное плоскостью z=0 (пл. Оху), поверхностью и цилиндрической поверхностью, направляющая которой есть граница области D, а образующая параллельна оси Oz.

Разобьем область D на части D_ij, и на каждой из этих частичных областей построим параллелепипед с высотой f(ξ_i, η_j), где Р(ξ_i, η_j) – произвольная точка, принадлежащая D_ij.

Тогда объём рассмотренного цилиндрического тела приближенно равен сумме объёмов построенных параллелепипедов:

V_ц.т. .

И это равенство тем точнее, чем мельче рассматриваемые области D_ij. Поэтому

V_ц.т. = .

Таким образом, двойной интеграл, с геометрической точки зрения, численно равен объему цилиндрического тела, ограниченного областью D, поверхностью и цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области D, а образующая параллельна оси Oz:

.

Рассмотрим физическую интерпретацию двойного интеграла. Пусть дана область , по которой распределена масса, и пусть плотность массы  есть функция точки этой области, т.е. , . Поставим задачу найти массу области .

Известно, что если область однородная (т.е. плотность масс постоянна), то , где - площадь этой области.

Разобьём область на n частей ω₁, ω₂,…, ω_n. Пусть ΔS_k – площадь частичной области ω_k, а , k=1,2,…,n. В каждой области ω_k возьмём произвольную точку и предположим, что плотность масс в области ω_k постоянна и равна . Тогда масса частичной области ω_k будет приближённо равна , а масса всей области .

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше λ (т.е. чем мельче разбиение области на части ω_k). Тогда можно считать, что искомая масса области равна

.

Таким образом, с физической точки зрения, двойной интеграл численно равен массе области D с переменной плотностью :

.

Вычисление двойного интеграла

Так как по определению интеграл не зависит от способа разбиения D на части, то разобьем D на части прямыми, параллельными осям координат. Для этого спроектируем D на оси координат. Получим отрезки [a, b] на оси Ох и [c, d] на Oy соответственно. Разобьем эти отрезки точками:

a < x₁ < x₂ < ... < x_n = b,

c < y₁ < y₂ < ... < y_k = d.

Тогда область D разобьется на прямоугольники (полные, или неполные) D_ij, i= , j =, площади которых равны

S_Dij = S_ij = x_i y_j, где x_i = x_i– x_i-1, y_j = y_j – y_j-1.

И если , то по определению двойного интеграла:

,

где (ξ_i, η_j) - любая точка, принадлежащая области D_ij .

Таким образом, вместо обозначения можно использовать равносильный символ .

Определим способы вычисления двойного интеграла.

Определение

Область DR² называется правильной в направлении оси Oу, если она ограниченна линиями x = a, x = b, y = ₁(x), y= ₂(x), причем ₁(x)  ₂(x) для любого x[a,b] (рисунок 1).

В этом случае каждая прямая, проходящая параллельно Oу через любую внутреннюю точку PD, пересекает границу области только в двух точках М₁, М₂. Точку М₁ называют точкой «входа» (в направлении Oу), а точку М₂ – точкой «выхода». Линия y = ₁(x), на которой лежат точки «входа» называется «линией входа», а линия y= ₂(x) – «линией выхода».

Например, ниже на рисунке изображена область, неправильная в направлении оси Оу, но ее можно разбить на две правильные области:

Аналогично определяется область, правильная в направлении оси Ох.

Определение

Область D  R² называется правильной в направлении оси Ох, если она ограничена линиями y = c, y = d, х = ₁(у), х = ₂(у), причем ₁(у)  ₂(у) для любого y[c,d] (рис.2).

В этом случае также каждая прямая, проходящая параллельно Oх через любую внутреннюю точку области D, пересекает границу области только в двух точках: в точке «входа» М₁ (в направлении Oх), и в точке «выхода» М₂. Линия х = ₁(у), на которой лежат точки «входа» также называется «линией входа», а линия х = ₂(у) – «линией выхода».

Таким образом, область правильная в направлении оси, если она в направлении этой оси имеет только одну линию входа и одну линию выхода.

Теорема.

Пусть f(x,y) – непрерывная в области D функция.

1) Если D – правильная в направлении оси Oу (рис.1), то

. (1)

2) Если D – правильная в направлении оси Oх (рис.2), то

. (2)

Интегралы, стоящие справа в этих равенствах, называются повторными интегралами (или двукратными). Последняя запись – условное, сокращенное изображение предыдущей. Понимается она так, как записано в центре. При этом первый (левый) интеграл называется внешним, а его переменная – внешней переменной, пределы – внешними пределами.

Второй (в скобках или справа) – внутренний интеграл, его переменная – внутренняя переменная, пределы – внутренние пределы интегрирования. Запись этих интегралов определяет порядок интегрирования: (1) – «no dx - no dy»; (2) –«no dy - no dx» (так же как при вычислении смешанной производной второго порядка функции нескольких переменных).

Правило перехода от двойного интегралу к повторным можно сформулировать следующим образом.

1. Постройте область D. Если эта область правильная в направлении оси Oу, то выполните пункт 2 настоящего правила; если область D правильная в направлении оси Oх, перейдите к пункту 3. Если D не является правильной, то разбейте её на части, каждая из которых является правильной в направлении одной из осей, и для каждой из этих областей перейдите к соответствующему пункту правила.

2. Для правильной в направлении оси Oу области выполните следующие действия:

а) найдите проекцию области D на ось Oх, получиться некоторый отрезок [a,b] (рис.3а);

б) через любую внутреннюю точку области D проведите (хотя бы мысленно) прямую, параллельную оси Oу;

в) уравнение линии, на которой лежит точка “входа” (на рисунке 3а это точка A), запишите в виде (т. е. выразите у через х). Уравнение линии, на которой лежит точка “выхода” B, запишите в виде ;

г) запишите заданный двойной интеграл через повторные следующим образом

.

3. Для правильной в направлении оси Oх области выполните следующее:

а) найдите проекцию области D на ось Oу, получиться некоторый отрезок [c,d] (рис.3б);

б) через любую внутреннюю точку области D проведите прямую, параллельную оси Oх и определить линию «входа» в область вдоль этой линии в направлении оси Оу, и линию «выхода» из области.

в) уравнение линии, на которой лежит точка “входа” (на рисунке это точка E), запишите в виде (т. е. выразите х через у). Уравнение линии, на которой лежит точка “выхода” K , запишите в виде ;

г) запишите заданный двойной интеграл через повторные следующим образом

.

Рассмотрим примеры вычисления двойного интеграла.