Пример 5.

Записать через повторные двумя способам, если область D:

а) ограничена линиями x=1, x=2y, y=1, y=3.

б) определяется условиями , , .

Решение.

а) Построим область интегрирования D (рис. 8).

Область D – правильная в направлении оси Ох; проекция области на ось Oу есть отрезок [1;3]; линии “входа” и “выхода” (в направлении оси Ох) – соответственно х=1 и x=2y. Тогда

.

Изменим порядок интегрирования. В направлении оси Oу область правильной не является, но прямая х=2 разбивает её на правильные части ABMN и NMC. Значит,

.

Рассмотрим каждую из областей отдельно.

Проекция области ABMN на ось Ох – отрезок [1,2]; линии “входа” и “выхода” (в направлении оси Oу) – прямые y=1 и y=3 соответственно. Тогда

.

Проекция области NMC на ось Ох – отрезок [2;6], где правая граница х=6 есть абсцисса точки пересечения прямых x=2y и y=3. Линия “входа” – это прямая (здесь мы выразили y из уравнения x=2y), а линия “выхода” – прямая y=3.

Тогда .

Следовательно, .

Таким образом, заданный двойной интеграл можно записать через повторный двумя способами:

или

б) Чтобы определить граничные линии области D, для каждого из заданных неравенств запишем соответствующие уравнения. Неравенству соответствует уравнение , которое задает окружность радиуса с центром в начале координат. Эта окружность разбила всю координатную плоскость на две части: внутренность круга и его внешняя часть. Взяв точку (0, 0) и подставив ее координаты в неравенство , получим – значит, координаты взятой точки удовлетворяют этому неравенству, следовательно, точка , а вместе с ней и все внутренние точки круга, принадлежат множеству , описываемому этим неравенством.

Аналогично, неравенству соответствует уравнение , определяющее прямую линию. Взяв точку , не лежащую на этой прямой, убеждаемся, что она удовлетворяет неравенству :

– Верно!

Следовательно, неравенству удовлетворяют все точки плоскости, лежащие по ту же сторону от прямой , что и точка (т.е. ниже прямой ).

Множество точек плоскости, удовлетворяющих неравенству , лежит справа от прямой .

Таким образом, область D, определена условиями , , , представляет собой геометрическую фигуру ABCM, изображённую на рисунке 9а.

Очевидно, эта область не является правильной ни в одном направлении.

Но прямая CN (рис.9б), параллельная оси Oу, разбивает область D на две части, правильные в направлении оси Oу. Проекция на ось Ох областей ABCN и NCM есть отрезки [-1;1] и [1;], где х=1 – абсцисса точки пересечения окружности и прямой . Линией “входа” как в область ABCN, так и в область NCM является нижняя часть окружности, уравнение которой (так как ординаты точек нижней половины окружности – отрицательны). Линией “выхода” для области ABCN является прямая , уравнение которой нужно записать в виде . Линия “выхода” для области NCM – верхняя часть окружности, её уравнение имеет вид . Тогда

.

Поменяем порядок интегрирования. Прямые BM и AN (рис.9в) разбивают заданную область на три части, правильные в направлении оси Ох: BCN, ABMN, ANK. При этом имеем:

Область	Проекция на ось Oу	Линия “входа”	Линия “выхода”
AMK	[ ;1]
ABMN	[-1;0]
BCN	[0;1]

Тогда двойной интеграл запишется через повторные следующим образом:

.