Пример 3.

Вычислить, если область ограничена линиями:.

Решение.

Построим область D (рисунок 6).

Проводя мысленно прямые, параллельные оси Оу, видим, что эти прямые имеют общую линию «входа» – ось Ох, но две различные линии «выхода»: часть прямых выходит из области через прямую , а часть – через прямую . Значит, в направлении оси Оу данная область правильной не является.

Прямые же, параллельные оси Ох, имеют только одну линию «входа» – , и только одну линию «выхода» – , значит данная область –правильная в направлении оси Ох. Следовательно, удобнее вычислять данный двойной интеграл, используя порядок интегрирования «no dy - no dx». Поэтому действуем согласно пункту 3 сформулированного выше алгоритма.

а) Найдем проекцию области D на ось Oу. По чертежу видно, что левой границей этого отрезка-проекции будет число ноль. Чтобы найти правую границу отрезка-проекции, найдем ординату точки пересечения линий и:

.

Следовательно, проекцией области D на ось Оу является отрезок .

б) Мы уже определили, что линией «входа» в область (в направлении оси Ох) является прямая , а линией «выхода» из области является прямая .

в) Запишем уравнения этих линий в нужной форме, т.е. выразим переменную х через у:

; .

г) Тогда заданный двойной интеграл через повторные запишется следующим образом . Вычисляем:

=

Пример 4.

Двойной интеграл записан через повторные:

.

Поменять порядок интегрирования. Вычислить интеграл.

Решение.

Чтобы изменить порядок интегрирования, т.е. записать интеграл «no dy - no dx», нужно, прежде всего, построить область D и выяснить, является ли она правильной в направлении оси Ох. А чтобы построить область, нужно знать, какими линиями она ограничена.

Поскольку данный двойной интеграл записан в виде повторных в порядке интегрирования «no dх - no dу», то область D является правильной в направлении оси Оу. Проекция области на ось Ох есть отрезок и значит, граничными линиями области могут быть прямые и .

Границы внутреннего интеграла – это пределы изменения переменной у от «линии входа» до «линии выхода». Значит, линия “входа” (в направлении оси Oу) есть парабола , а линия “выхода” – парабола.

Таким образом, область интегрирования D ограничена линиями , ,,. Эта область изображена на рисунке 7.

Нетрудно убедиться в том, что эта область в направлении оси Ох правильной не является: линией «входа» в область для всех параллельных оси Ох прямых является ось Оу (прямая ), но часть этих прямых «выходит» из параболы , а другая часть – из параболы .

Следовательно, чтобы записать интеграл в виде повторных в порядке интегрирования «no dy - no dx», нужно разбить данную область на две правильные части прямой , которая проходит через точку пересечения парабол и .

Проекция нижней половины области D на ось Оу есть отрезок . Линия «входа» , линия «выхода» – парабола , но ее уравнение нужно записать в виде .

Проекция верхней половины области D на ось Оу есть отрезок . Линия «входа» , линия «выхода» – парабола , ее уравнение запишем в виде .

Тогда получим запись двойного интеграла через повторные в порядке «no dy - no dx»

.

Теперь вычислим заданный интеграл. Очевидно, это сделать проще, используя порядок интегрирования «no dх - no dу»:

=

.