2.3 Критерий Найквиста
Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутого контура САР.
Записываем передаточную функцию разомкнутой АСР (6)
.
Делаем замену P = (j) и подставляем в уравнение (6), получим (17)
.
(17)
Выделяем в знаменателе действительную и мнимую часть и домножаем на сопряженное (18)
.
(18)
Выписываем вещественную (19) и мнимую части (20):
.
(19)
.
(20)
Подставляя в (19,
20) различные значения частоты ω от 0 до
,
рассчитывают координаты для построения
АФЧХ разомкнутой системы. Результаты
записываем в таблицу 2.
Таблица 2 - Данные для построения годографа Найквиста
-
0
∞
∞
1
-122,9699565
5,350563
2
-118,3519415
8,874192
3
-111,2602605
12,14154
4
-102,4347117
14,74469
5
-92,65337641
16,58725
6
-82,60395835
17,69716
7
-72,81466974
18,16972
8
-63,63990061
18,12938
9
-55,28095078
17,70355
10
-47,82163532
17,00736
20
-11,27378824
8,005278
30
-3,346550974
3,563353
40
-1,254788074
1,781241
50
-0,559574891
0,992884
60
-0,283170868
0,602918
70
-0,157466089
0,391144
80
-0,094132809
0,267225
90
-0,059571089
0,190248
100
-0,039469421
0,140056
110
-0,027155362
0,105995
120
-0,01928053
0,082099
130
-0,014059115
0,064854
140
-0,010488675
0,052106
150
-0,007981443
0,042482
160
-0,006179615
0,035085
170
-0,004858155
0,029306
180
-0,003871415
0,024727
190
-0,003122713
0,021053
200
-0,002546408
0,018071
210
-0,00209702
0,015626
220
-0,001742463
0,013603
Продолжение Таблицы 2
-
230
-0,001459721
0,011913
240
-0,001232035
0,010492
250
-0,001047035
0,009288
260
-0,000895474
0,008261
270
-0,000770356
0,007381
280
-0,000666337
0,00662
290
-0,000579289
0,005961
300
-0,000505996
0,005386
310
-0,000443932
0,004883
320
-0,000391096
0,004441
330
-0,000345888
0,00405
340
-0,000307026
0,003704
350
-0,00027347
0,003396
360
-0,000244374
0,003122
370
-0,000219046
0,002876
380
-0,000196915
0,002655
390
-0,000177509
0,002456
400
-0,000160435
0,002277
410
-0,000145365
0,002115
420
-0,000132023
0,001968
430
-0,000120177
0,001834
440
-0,00010963
0,001712
450
-0,000100215
0,0016
460
-9,17893E-05
0,001498
470
-8,42305E-05
0,001405
480
-7,74338E-05
0,001319
490
-7,1309E-05
0,00124
500
-6,57778E-05
0,001167
510
-6,07726E-05
0,0011
520
-5,62344E-05
0,001038
530
-5,2112E-05
0,00098
540
-4,83605E-05
0,000927
550
-4,49405E-05
0,000877
560
-4,18176E-05
0,000831
570
-3,89612E-05
0,000788
580
-3,63445E-05
0,000748
590
-3,39439E-05
0,000711
600
-3,17382E-05
0,000676
610
-2,97088E-05
0,000643
620
-2,7839E-05
0,000612
630
-2,6114E-05
0,000584
640
-2,45206E-05
0,000557
650
-2,30468E-05
0,000532
660
-2,16821E-05
0,000508
670
-2,0417E-05
0,000485
680
-1,92427E-05
0,000464
690
-1,81517E-05
0,000444
700
-1,71369E-05
0,000426
710
-1,61921E-05
0,000408
720
-1,53114E-05
0,000391
730
-1,44899E-05
0,000375
740
-1,37227E-05
0,00036
∞
-∞
-∞
Согласно условию устойчивости по критерию Найквиста, если разомкнутая система устойчива, то в этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1,j0).
По данным (таблицы 2) строим годограф Найквиста (рисунок 4).
Рисунок 4 - Годограф Найквиста
Рисунок 5 – Увеличенный участок Годографа Найквиста
Вывод: АФЧХ разомкнутой системы при изменение частоты от 0 до ∞ охватывает точку с координатами (-1,j0), следовательно, система неустойчива.