2.2 Критерий Михайлова
Для устойчивости АСР n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начав движение от вещественной положительной оси комплексной плоскости, обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль.
Выписываем характеристическое уравнение замкнутой АСР (15)
. (15)
Производим подстановку P = (j)
.
Выделяем вещественную и мнимую часть многочлена (16)
(16)
Задаём значения 0 и считаем P(), Q()
Таблица 1 - Данные для построения годографа Михайлова
-
0
803,712
0
0,1
803,7105
0,099995
0,2
803,7058
0,199956
0,3
803,6981
0,299852
0,4
803,6872
0,399648
0,5
803,6733
0,499313
0,6
803,6562
0,598812
0,7
803,6361
0,698114
0,8
803,6128
0,797184
0,9
803,5865
0,895991
1
803,557
0,9945
1,1
803,5245
1,09268
1,2
803,4888
1,190496
1,3
803,4501
1,287917
1,4
803,4082
1,384908
1,5
803,3633
1,481438
1,6
803,3152
1,577472
1,7
803,2641
1,672979
1,8
803,2098
1,767924
1,9
803,1525
1,862276
2
803,092
1,956
2,1
803,0285
2,049065
2,2
802,9618
2,141436
2,3
802,8921
2,233082
2,4
802,8192
2,323968
2,5
802,7433
2,414063
2,6
802,6642
2,503332
2,7
802,5821
2,591744
2,8
802,4968
2,679264
2,9
802,4085
2,765861
3
802,317
2,8515
3,1
802,2225
2,93615
3,2
802,1248
3,019776
3,3
802,0241
3,102347
3,4
801,9202
3,183828
3,5
801,8133
3,264188
3,6
801,7032
3,343392
3,7
801,5901
3,421409
3,8
801,4738
3,498204
3,9
801,3545
3,573746
4
801,232
3,648
4,1
801,1065
3,720935
Продолжение таблицы 1
-
4,2
800,9778
3,792516
4,3
800,8461
3,862712
4,4
800,7112
3,931488
4,5
800,5733
3,998813
4,6
800,4322
4,064652
4,7
800,2881
4,128974
4,8
800,1408
4,191744
4,9
799,9905
4,252931
5
799,837
4,3125
5,1
799,6805
4,37042
5,2
799,5208
4,426656
5,3
799,3581
4,481177
5,4
799,1922
4,533948
5,5
799,0233
4,584938
5,6
798,8512
4,634112
5,7
798,6761
4,681439
5,8
798,4978
4,726884
5,9
798,3165
4,770416
6
798,132
4,812
6,1
797,9445
4,851605
6,2
797,7538
4,889196
6,3
797,5601
4,924742
6,4
797,3632
4,958208
6,5
797,1633
4,989563
6,6
796,9602
5,018772
6,7
796,7541
5,045804
6,8
796,5448
5,070624
6,9
796,3325
5,093201
7
796,117
5,1135
7,1
795,8985
5,13149
7,2
795,6768
5,147136
7,3
795,4521
5,160407
7,4
795,2242
5,171268
7,5
794,9933
5,179688
7,6
794,7592
5,185632
7,7
794,5221
5,189069
7,8
794,2818
5,189964
7,9
794,0385
5,188286
8
793,792
5,184
8,1
793,5425
5,177075
8,2
793,2898
5,167476
8,3
793,0341
5,155172
8,4
792,7752
5,140128
8,5
792,5133
5,122313
8,6
792,2482
5,101692
8,7
791,9801
5,078234
8,8
791,7088
5,051904
8,9
791,4345
5,022671
9
791,157
4,9905
9,1
790,8765
4,95536
9,2
790,5928
4,917216
∞
-∞
-∞
По данным (таблицы 1) строим годограф Михайлова (рисунок 3).
Рисунок 3 - Годограф Михайлова
Вывод: Данная система в замкнутом состоянии является не устойчивой, т.к. годограф Михайлова, начав движение от вещественной положительной оси комплексной плоскости (рисунок 3), не обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно 3 квадранта.