1 Расчетная часть

1.1 Преобразование структурной схемы

На систему автоматического регулирования действует задающее и возмущающее воздействия (рисунок 1). Для системы, работающей по возмущающему воздействию, полагают задающее воздействие равно нулю g=0, тогда структурную схему можно преобразовать к виду, приведенному на рисунке (рисунок 2):

Рисунок 2 - Структурная схема системы автоматического регулирования

где - пропорциональное звено;

- апериодическое звено;

- интегрирующее звено;

- апериодическое звено;

- дифференцирующее звено;

.

Передаточная функция прямой цепи имеет следующий вид (1)

. (1)

Передаточная функция разомкнутой системы, которая определяется как произведение передаточных функций всех последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур имеет следующий вид (2)

. (2)

Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию относительно выходной величины x (по входу f и выходу x) в соответствии с (3) определяется выражением (4)

. (3)

. (4)

Передаточная функция по ошибке по возмущающему воздействию определяется выражением (5)

. (5)

После подстановки передаточных функций в выражение (2), получим (6)

. (6)

где - общий коэффициент усиления прямой цепи;

,,,- коэффициенты собственного оператора.

Подставим численные значения в выражение (6), получим (7)

. (7)

После подстановки передаточных функций в выражение (4), получим (8)

. (8)

где , , ,,,- коэффициенты собственного оператора.

100

Подставим численные значения в выражение (8), получим (9)

. (9)

После подстановки передаточных функций по ошибке по возмущающему воздействию в выражение (5), получим (10)

. (10)

где , , ,,,- коэффициенты собственного оператора.

Подставим численные значения в выражение (10), получим (11)

. (11)

Характеристическое уравнение замкнутой АСР получается путем выделения знаменателя передаточной функции (9) и приравнивания его к нулю (12)

. (12)

2 Исследование на устойчивость

2.1 Критерий Гурвица

Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтоб главный определитель матрицы Гурвица и все его диагональные миноры были не отрицательны.

Критерий Гурвица предполагает исследование замкнутой системы по ее характеристическому многочлену (13)

. (13)

где ;

;

;

.

Составляем матрицу (главный определитель Гурвица) по следующему правилу: по главной диагонали слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от a₀ до a_n в порядке возрастания индексов. Затем каждый столбец дополняют так, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались на 1, а вниз уменьшались. Вместо коэффициентов с индексом меньше 0 и больше n пишут 0. Главный определитель Гурвица для системы n-го порядка (14)

. (14)

Выделяя в главном определителе диагональные миноры, отчеркивая строки и столбцы получаем определители Гурвица низшего порядка

;

;

.

Вывод: Данная система в замкнутом состоянии является не устойчивой, т.к. несколько определителей матрицы отрицательные.

Так как система неустойчива, необходимо найти критический коэффициент усиления системы, при котором система будет на границе устойчивости. Критический коэффициент находят из уравнения Δ_n-1=0.

;

;

.

Если критический коэффициент, то система будет находиться на границе устойчивости.