ЛАБ.РАБ / lab_51
.pdf
Лабораторная работа №51
Сложение гармонических колебаний.
Составитель: ст. пр. Чернова А.Н.
Цель работы: получение на осциллографе картины, возникающей при сложении двух гармонических колебаний при разных условиях.
I. Теоретическая часть
1). Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
Любое гармоническое колебание x = Acos(ωt +ϕ0) можно представить как
вращающийся со скоростью ω вектор длины A , проекция которого на ось x в ка-
ждый момент времени равна смещению x . y 
y
ω 
ϕ0
144424443 |
|
|
x |
|
|
||||
x |
||||
|
||||
x = Acos(ωt +ϕ0) или y = Asin(ωt +ϕ0)
Пусть тело участвуют в двух колебательных движениях, происходящих вдоль одного направления с равными частотами.
y1 = Asin(ωt +ϕ01)
y2 = Asin(ωt +ϕ02)
Построим векторные диаграммы этих колебаний методом вращающегося вектора. Так как вектора A1 и A2 вращаются с одинаковой угловой скоростью ω,
то разность фаз ϕ02 −ϕ01 между ними остается постоянной.
y 
yp |
A2 |
Ap |
y2 |
|
|
|
|
|
y1 |
ϕ02 |
A1 |
|
ϕ01 |
ϕр |
x
y p = y1 + y2 = Ap sin(ωt +ϕp ) ,
где Ap = 
A12 + A22 +2 A1 A2 cos(ϕ02 −ϕ01 )
tgϕp = A1 sinϕ01 + A2 sinϕ02 A1 cosϕ01 + A2 cosϕ02
Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления, совершает гармонические колебания в том же направлении с той же частотой.
Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.
2). Сложение одинаково направленных колебаний с близкими частотами. Биения.
Пусть амплитуды складываемых колебаний равны, а частоты отличаются на
∆ω .
y1 = Asinωt
y2 = Asin(ω +∆ω)t
y p = y1 +y2 = A(sinωt +sin(ω +∆ω)) =
= 2 Asin(ω +ω +∆ω)t cos ∆ω t = = 2 Asin(ω + |
∆ω)t cos |
∆ω t = |
|||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
= 2 Asin(ω + |
∆ω |
)t cos |
|
∆ω |
t = = 2 Acos |
∆ω |
t sinωt |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
∆ω |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y р |
= Aб sinωt , где |
Aб = 2Acos |
t |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, результирующим колебанием является гармоническое коле- |
|||||||||||||||||
бание с частотой ω и меняющейся амплитудой A |
|
∆ω |
t |
|
, Такой вид колеба- |
||||||||||||
= |
Acos |
|
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ний называется биением. Частота изменения амплитуды Aб в два раза больше частоты изменения косинуса, так как амплитуда биения берется по модулю, т. е. час-
тота биений ∆ω, период биений T |
= |
2π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
б |
|
∆ω |
2π |
|||
Tб = |
2π |
|
|
T= |
|||
|
|
ω |
|||||
yр |
∆ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
Aб=| 2A cos |
∆ω |
t | |
yp=| 2A cos |
∆ω |
t | sin ωt |
2 |
2 |
Сплошные линии дают график результирующего колебания, а огибающая их
– график медленно меняющейся амплитуды.
3). Сложение гармонических колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль оси x и y .
x |
|
= Acosωt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
= B cos(ωt +α) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
= cosωt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y |
|
= cos(ωt +α) = cosωt cosα −sinωt sinα |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sinωt = |
|
|
1−cos2 ωt |
= |
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
y |
= |
x |
cosα − 1 |
− |
x |
2 |
sinα |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
B |
A |
A2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( 1 − |
x2 |
sin α) |
2 |
|
= ( |
x |
cosα − |
y |
) |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
A2 |
|
|
A |
B |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
sin |
2 α − |
x2 |
sin2 α = |
|
|
x2 |
|
cos2 α − |
2xy cosα + |
y2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
A2 |
|
B2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
AB |
|||||||||||||
|
|
− |
|
2xy cosα + |
|
|
|
= sin2 α |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
A2 |
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Траектория результирующего колебания имеет форму эллипса. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуды колебаний и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
разности фаз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а). Если α = kπ , k = 0,1,2.. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
cosα = ±1, sinα = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
( |
|
x |
|
|
|
− |
|
y |
) |
2 |
= 0 , |
x |
|
= ± |
|
y |
|
, y = ± |
B |
x |
|
|
|||||||||||
|
A |
|
|
B |
|
|
A |
|
B |
A |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Траектория результирующего колебания – прямая, результирующее колебание является гармоническим с частотой ω и амплитудой 
A2 + B2 , совершаю-
щимся вдоль прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A |
ϕ |
|
B |
B |
|
|
|
A |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
-A |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б). Если α = (2k +1) π2 , k = 0,1,2.. cosα = 0, sinα =1,
x2 + y2 =1 A2 B2
Траектория результирующего колебания – эллипс, оси которого совпадают с осями координат. y
B
A
-A |
x |
-B
Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, замкнутые траектории, описываемые колеблющейся точкой, довольно сложные и называются фигурами Лиссажу. Вид этих кривых зависят от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.
По виду фигур Лиссажу можно определить неизвестную частоту колебаний или соотношение частот. Для этого надо провести на фигуре Лиссажу две параллельные осям координат прямые (не проходящие через точки пересечения фигуры Лиссажу). Отношение числа точек пересечения прямой, параллельной оси y , ny к
числу точек пересечения прямой, параллельной оси x , nx с фигурой Лиссажу даст
отношение частот, т.е. |
n y |
= |
ν y |
. |
||
|
|
|
||||
nx |
νx |
|||||
y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
x
nx = 2 , ny = 4
y
x
Прямые проведены через точки пересечения фигуры Лиссажу, это неверно.
II. Методика исследования сложения колебаний.
В осциллографе производится сложение переменного напряжения, результирующее колебание появляется на экране осциллографа.
Горизонтально |
y |
|
|
отклоняющие |
|
пластины “ x ” |
|
Катод (-) |
|
|
|
|
|
|
|
Анод (+) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вертикально |
Экран |
x |
отклоняющие |
|
|
пластины “ y ” |
|
|
Если на пластины конденсаторов не подается напряжение, пучок электронов, вылетающих с катода, не отклоняется и попадает в центр экрана. Если на вертикально отклоняющие пластины "y" подать переменное напряжение, то пучок электронов будет отклонятся к верхней или нижней пластине - на экране осциллографа будет прямая, длина которой соответствует двум амплитудам переменного напряжения.
Чтобы растянуть прямую линию в синусоидальную, на горизонтально откло-
няющие пластины подается пилообразное напряжение (развертка).
U 
t
На экране будет синусоидальная кривая. y
A 
x
На стенде собрана схема:
R Z
UR UZ
UR+Z
Подаваемое переменное напряжение равно векторной сумме напряжений на сопротивлениях R и Z .
Поочередно подавая напряжения U R , U Z , U R+Z на пластины "y" можно измерить амплитуды A1 , A2 , Ap .
В упражнении 2 на вертикально отклоняющие пластины "y" подается напряжение с двух генераторов, а на горизонтально отклоняющие пластины "x" – пилообразное напряжение (развертка). На экране электронный пучок описывает синусоидальные колебания с изменяющейся амплитудой.
y пласт
|
|
|
|
|
|
|
|
левый ГС |
правый ГС |
||
В упражнении 3 на вертикально отклоняющие пластины "y" и на горизонтально отклоняющие пластины "x" подается напряжение с двух генераторов. Электронный луч будет описывать сложные фигуры Лиссажу.
III. Порядок выполнения работы.
Упражнение 1. Сложение одинаково направленных колебаний одной частоты.
1.Подготовить осциллограф к работе.
−усилитель "y" - в пол. 5 V/см
−в пол. ×1
−синхронизация - в пол. (+) вверх
−в пол. (сеть)
−развертка – в пол. ×1
−длительность – в пол. ms 2 (ручку сначала прижать, а затем повернуть; ручкой в центре добиваются устойчивой картины на экране).
−стабилизация – в среднее положение
−уровень - в среднее положение
2.Включить осциллограф
(тумблер "сеть" в верхнем правом углу)
Ручками (вправо, влево) и (вверх, вниз) вывести электронный луч в центр эк-
рана.
3.Включить стенд "упражнение 1".
Ручками "уровень", "стабилизация" и ручкой в центре переключателя "длительность" добиться устойчивого изображения синусоиды.
4.Определить амплитуды напряжений (в делениях) на сопротивлениях R ( A1 ), Z ( A2 ) и R + Z ( Ap ), переключая тумблер.
5.Вычислить сдвиг фаз (ϕ2 −ϕ1 ) между колебаниями на сопротивлениях R и Z (см. теорию).
Упражнение 2. Сложение одинаково направленных колебаний с близкими частотами. Биения.
1.Подготовить генераторы сигналов к работе.
−шкала прибора – в пол. ×2
−пределы шкал – в крайнее правое положение (3V, 10V, - 30V, +30dB)
−вых. сопротивление – в пол.50
−внутренняя нагрузка – в пол. "Выкл"
−расстройка % - 0
2.Включить генераторы в сеть.
На обоих генераторах установить частоту 500 Герц. Ручкой "регулятор выхода" установить стрелку вольтметра на середину шкалы. Получить и зарисовать картину колебаний.
3. Изменяя частоту левого генератора 520, 530, 540, 550, 600, получить и зарисовать картину биений для каждой частоты и замерить период биений (в делениях).
Упражнение 3.Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
1.Подключить стенд к горизонтально отклоняющей пластине "x" "Развертка" в пол. "х".
2.Регулировкой выхода получить на экране прямоугольник, внутри которого фигура Лиссажу.
3.На обоих генераторах установить 500 Гц. Добиться появления на экране устойчивой фигуры Лиссажу, зарисовать.
4.Изменяя частоту на левом генераторе 750, 1000, 1500, 375, 250 добиться появления на экране устойчивых фигур Лиссажу, зарисовать их.
Частота на |
|
Вид фигуры |
|
|
Вид фигуры |
|
n y |
||||
левом ГС νy |
|
(1 положе- |
|
|
(2 положе- |
|
|
||||
|
nx |
|
|||||||||
|
|
ние) |
|
|
ние) |
|
|
|
|||
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
750 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
375 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Для каждой фигуры Лиссажу определить число точек пересечения с |
|||||||||||
осями nx и ny |
и убедится, что отношение |
n y |
= |
ν y |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
nx |
νx |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Контрольные вопросы.
1.Сложение одинаково направленных колебаний с одинаковыми частотами.
2.Сложение одинаково направленных колебаний с близкими частотами. Бие-
ния.
3.Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
4.Методика сложения колебаний в данной работе.
5.Обсуждение результатов:
a. По сдвигу фаз определить, какой элемент обозначен Z .
b.Как изменяется характер биений с увеличением ∆ω , как зависит Tб от ∆ω .
c.Почему одному и тому же отношению частот соответствует ряд фигур Лиссажу.