1.4.2. Ортогональные проекции точки в системе двух плоскостей проекций

Геометрический объект любой сложности можно рассматривать как геометрическое место точек, по взаимному расположению, которых можно составить представление об объекте, а по расположению их относительно системы координат можно судить о положении его в пространстве.

Точка - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии точкаобычно принимается за одно из исходных понятий.

а) модель		б) эпюр
Рисунок. 7. Точка в системе двух плоскостей проекций

При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. На рисунке 7 показана точка А и ее ортогональные проекции А₁ и А₂, которые называют соответственно горизонтальной и фронтальной проекциями.

Проекции точки всегда расположены на прямой, перпендикулярной оси x₂₁ и пересекающей эту ось в точке А _x.

Справедливо и обратное, т. е.  если на плоскостях проекций даны точки А₁ и А₂ расположенные на прямой, пересекающей ось x₂₁ в точке А_x под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А.

На эпюре Монжа проекции А₁ и А₂ расположены на одном перпендикуляре к оси x₂₁. При этом расстояние А₁А_x - от горизонтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П₂, а расстояние А₂А_x - от фронтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П₁.

Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 8 Точки в различных четвертях пространства

На рисунке 8 представлены точки A, B, C и D, расположенные в разных четвертях пространства и  их эпюр (A - в первой, B - во второй, C - в третьей и D - в четвертой четвертях)

 

1.4.2. Ортогональные проекции точки в системе трех плоскостей проекций

В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью – профильную плоскость проекций П₃, расположенную перпендикулярно к П₁ и П₂. Плоскости проекций П₁, П₂ и П₃ являются основными плоскостями проекций.

Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 9. Третья плоскость, перпендикулярная и П₁, и П₂, обозначается буквой П₃ и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость обозначаются прописными буквами латинского алфавита или цифрами с индексом 3.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0.

Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П₁ и П₃ вращают, как показано на рисунке 10, до совмещения с плоскостью П₂. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают. Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 9. Точка в системе трех плоскостей проекций

Рисунок 10. Получение эпюра

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , y и z (абсцисса, ордината и аппликата). Точка может занимать в пространстве как общее, так и частное положение по отношению к плоскостям проекций. 1. Точка не принадлежащая ни одной из плоскостей проекций - точка общего положения. Координаты точки общего положения не равны нулю (x≠0,y≠0,z≠0), и в зависимости от знака координаты точка может располагаться в одном из восьми октантов, как показано в таблице 1 и на рисунке 11.

 

	Таблица 1 Знаки координат в октантах точка октант координаты x y z A I + + + B II + - + D III + - - C IV + + - E V - + + F VI - - + N VII - - - G VIII - + -
а) модель I-IV октантов
б) модель V-VIII октантов	в) эпюр
Рисунок 11. Точки общего положения

2. Точка принадлежит плоскости проекций.

• Точка А принадлежит горизонтальной плоскости проекций (x≠0,y≠0,z=0) -  фронтальная проекция точки лежит на оси x, а профильная на оси y.

• Точка B принадлежит фронтальной плоскости проекций (x≠0,y=0,z≠0) -  горизонтальная проекция точки лежит на оси x, а профильная на оси z.

• Точка С принадлежит профильной плоскости проекций (x=0,y≠0,z≠0) -  горизонтальная проекция точки лежит на оси y, а фронтальная на оси z.

3. Точка принадлежащая одновременно двум плоскостям проекций - точка на оси.

• Точка D лежит на оси x, принадлежит одновременно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций (x≠0,y=0,z=0).

• Точка E лежит на оси y, принадлежит одновременно горизонтальной и профильной  плоскостям проекций (x=0,y≠0,z=0).

• Точка F лежит на оси z, принадлежит одновременно фронтальной и профильной  плоскостям проекций (x=0,y=0,z≠0).

4.  Точка принадлежит одновременно трем плоскостям проекций - 0(x=0,y=0,z=0) - начало координат.